← Portal 1r d'ESO · Matemàtiques 1r ESO C Repàs d'Examen · S.A. 1
⏱️ 55:00 📘 PDF Guia Professor

INS Pere Borrell · Curs 2026–2027 · Docent: Rubén Pineda · Aula A209

Sessió de Repàs per a l'Examen: Operacions Combinades i Divisibilitat

Entrenament complet i estructurat de 55 minuts per consolidar la jerarquia de les operacions combinades, els criteris de divisibilitat, els nombres primers, la descomposició factorial i la resolució de problemes amb $\operatorname{MCD}$ i $\operatorname{mcm}$.

⏳ Durada: 55 minuts 🧮 Sense calculadora (norma 1r trimestre) 🎯 6 Pantalles + 8 Exercicis d'examen 🔒 Solucions protegides fins a l'intent
Pantalla 1 de 6 · Activació i estructura

Què entra a l'examen i com ens organitzem avui?

⏱️ 5 minuts

🎯 Objectius de la sessió

  • Aplicar sense errors la jerarquia de les operacions combinades amb parèntesis, potències i arrels quadrades exactes.
  • Utilitzar els criteris de divisibilitat ($2, 3, 5, 9, 10$) per identificar nombres primers i descompondre en factors primers.
  • Calcular el $\operatorname{MCD}$ i el $\operatorname{mcm}$ a partir de la factorització.
  • Distingir en problemes reals quan cal repartir en parts iguals ($\operatorname{MCD}$) i quan cal buscar una coincidència ($\operatorname{mcm}$).

🗺️ Planificació de la sessió (55 min)

  • 00–05 min: Activació ràpida i mapa de la prova escrita.
  • 05–15 min: Repàs visual de jerarquia d'operacions i exemple resolt.
  • 15–25 min: Repàs de nombres primers, $\operatorname{MCD}$ i $\operatorname{mcm}$ amb exemple.
  • 25–37 min: Resolució guiada dels Exercicis 1 a 4.
  • 37–50 min: Resolució autònoma dels Exercicis 5 a 8 (inclou problemes).
  • 50–55 min: Revisió d'errors freqüents i tiquet de sortida.
💬 Pregunta d'activació per a la classe (sense escriure encara):

Si a l'examen trobeu l'operació $18 - 3 \cdot 4$, quin és el resultat correcte: $60$ o $6$? Per què? I si un problema us demana «quan tornaran a coincidir dos autobusos», utilitzareu el $\operatorname{MCD}$ o el $\operatorname{mcm}$?

Inici de la presentació
Pantalla 2 de 6 · Bloc 1

Jerarquia de les Operacions Combinades

⏱️ 10 minuts

Recordem l'ordre estricte de prioritat quan operem amb nombres naturals (sense calculadora). Mai no fem una suma o resta abans d'una multiplicació o divisió que no estigui tancada dins d'un parèntesi:

1️⃣ Parèntesis i Claudàtors $(\;)$ i $[\;]$

Es resolen sempre des de dins cap a fora. Dins de cada parèntesi també es respecta tota la jerarquia.

2️⃣ Potències i Arrels $a^n$ i $\sqrt{a}$

Atenció: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$ (mai no és $5 \cdot 2 = 10$!). L'arrel quadrada exacta busca quin nombre elevat al quadrat dona el radicand: $\sqrt{49} = 7$ perquè $7^2 = 49$.

3️⃣ Multiplicacions i Divisions $\cdot$ i $\div$

Tenen la mateixa prioritat: es calculen rigorosament d'esquerra a dreta segons apareixen.

4️⃣ Sumes i Restes $+$ i $-$

És l'últim pas. També es resolen d'esquerra a dreta per evitar errors amb els signes.

📝 Exemple Resolt 1 (Model de pissarra)

Resolem pas a pas l'expressió: $$24 - 2 \cdot \left(5^2 - \sqrt{49} \cdot 3\right) + 18 \div 3$$

  1. Potències i arrels dins del parèntesi: com que $5^2 = 25$ i $\sqrt{49} = 7$, substituïm: $$24 - 2 \cdot (25 - 7 \cdot 3) + 18 \div 3$$
  2. Multiplicació i resta dins del parèntesi: primer $7 \cdot 3 = 21$ i després $25 - 21 = 4$: $$24 - 2 \cdot 4 + 18 \div 3$$
  3. Multiplicacions i divisions d'esquerra a dreta: $2 \cdot 4 = 8$ i $18 \div 3 = 6$: $$24 - 8 + 6$$
  4. Sumes i restes d'esquerra a dreta: primer $24 - 8 = 16$, i finalment $16 + 6 = \mathbf{22}$.
⚠️ Error trampa d'examen: En arribar a $24 - 8 + 6$, alguns alumnes fan primer $8 + 6 = 14$ i després $24 - 14 = 10$ (incorrecte!). El signe menys afecta només el $8$: cal anar d'esquerra a dreta: $(24 - 8) + 6 = 16 + 6 = 22$.
Pantalla 3 de 6 · Bloc 2

Divisibilitat, Nombres Primers, MCD i mcm

⏱️ 10 minuts

🔍 Criteris ràpids

  • Per $2$: acaba en xifra parella ($0, 2, 4, 6, 8$).
  • Per $3$: la suma de les xifres és múltiple de $3$.
  • Per $5$: acaba en $0$ o en $5$.
  • Per $9$: la suma de les xifres és múltiple de $9$.
  • Per $10$: acaba en $0$.

🧱 Primers i Factorització

Els primers nombres primers són: $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31\dots$$

En descompondre amb la barra vertical, a la columna dreta només hi podem escriure nombres primers (mai $4$, $6$, $9$ o $10$!).

⚖️ MCD vs. mcm

$\operatorname{MCD}$ (Màxim Comú Divisor): només factors comuns amb l'exponent més petit. Serveix per repartir, tallar o fer lots màxims sense sobrants.

$\operatorname{mcm}$ (mínim comú múltiple): factors comuns i no comuns amb l'exponent més gran. Serveix per trobar coincidències en el temps.

📝 Exemple Resolt 2: $\operatorname{MCD}$ i $\operatorname{mcm}$ de $36$ i $60$

1. Descomponem en factors primers: $$36 = 2^2 \cdot 3^2 \qquad \text{i} \qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

2. Apliquem la regla òptima:

  • $\operatorname{MCD}(36, 60) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}$ (factors comuns $2$ i $3$ amb el menor exponent).
  • $\operatorname{mcm}(36, 60) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = \mathbf{180}$ (tots els factors amb el major exponent).

🔬 Explorador Visual per a la Pissarra: Factorització, $\operatorname{MCD}$ i $\operatorname{mcm}$

Controls de simulació amb parelles d'exemple per projectar i comparar a l'aula (independents dels exercicis):

Selecciona una parella de nombres per projectar-ne els factors primers i comparar el $\operatorname{MCD}$ i el $\operatorname{mcm}$.
Pantalla 4 de 6 · Pràctica Guiada

Exercicis Guiats d'Entrenament (Ex. 1 a Ex. 4)

⏱️ 12 minuts

Resol aquests quatre exercicis a la llibreta pas a pas. Introdueix els resultats per validar-los abans d'obrir la solució completa:

Exercici 1 Operació combinada bàsica

Calcula pas a pas respectant la jerarquia d'operacions:

$$30 - 3 \cdot (14 - 4 \cdot 2) + 20 \div 5$$

💡 Pista

Dins del parèntesi fes primer el producte $4 \cdot 2$. Després multiplica per $3$ i divideix $20 \div 5$ abans de restar i sumar d'esquerra a dreta.

🔐 Solució pas a pas

1. Parèntesi: $14 - 4 \cdot 2 = 14 - 8 = 6$.
2. Substituïm: $30 - 3 \cdot 6 + 20 \div 5$.
3. Multiplicació i divisió: $3 \cdot 6 = 18$ i $20 \div 5 = 4$.
4. D'esquerra a dreta: $30 - 18 + 4 = 12 + 4 = \mathbf{16}$.

Exercici 2 Potències i arrels quadrades

Resol sense calculadora l'operació combinada següent:

$$4^2 + 3 \cdot \left(\sqrt{64} - 2^2\right) - 15 \div 3$$

💡 Pista

Calcula primer $4^2$, $\sqrt{64}$ i $2^2$. Recorda que $\sqrt{64}$ és el nombre que multiplicat per ell mateix dona $64$.

🔐 Solució pas a pas

1. Potències i arrels: $4^2 = 16$, $\sqrt{64} = 8$ i $2^2 = 4$.
2. Parèntesi: $8 - 4 = 4$.
3. Producte i divisió: $3 \cdot 4 = 12$ i $15 \div 3 = 5$.
4. D'esquerra a dreta: $16 + 12 - 5 = 28 - 5 = \mathbf{23}$.

Exercici 3 Divisibilitat i nombres primers

Observa el nombre $126$ i el conjunt de nombres $\{17, 21, 29, 33, 37\}$:

a) Calcula la suma de les xifres de $126$ per comprovar si és divisible per $3$ i per $9$.
b) Indica quants nombres primers hi ha dins del conjunt $\{17, 21, 29, 33, 37\}$.

💡 Pista

Comprova quins nombres del conjunt es poden dividir exactament per $3$ sumant les seves xifres.

🔐 Solució pas a pas

a) La suma de les xifres de $126$ és $1 + 2 + 6 = \mathbf{9}$, que és múltiple de $3$ i de $9$ (i com que és parell, $126$ és divisible per $2, 3, 6$ i $9$).
b) $21 = 3 \cdot 7$ i $33 = 3 \cdot 11$ són compostos. En canvi, $17$, $29$ i $37$ només tenen dos divisors: hi ha exactament $\mathbf{3}$ nombres primers.

Exercici 4 Factorització, MCD i mcm

Descompon en factors primers els nombres $24$ i $36$ a la llibreta i calcula:

$$\operatorname{MCD}(24, 36) \qquad \text{i} \qquad \operatorname{mcm}(24, 36)$$

💡 Pista

$24 = 2^3 \cdot 3$ i $36 = 2^2 \cdot 3^2$. Tria els exponents petits per al $\operatorname{MCD}$ i els exponents grans per al $\operatorname{mcm}$.

🔐 Solució pas a pas

Factoritzem: $24 = 2^3 \cdot 3$ i $36 = 2^2 \cdot 3^2$.
$\operatorname{MCD}(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}$.
$\operatorname{mcm}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = \mathbf{72}$.

Pantalla 5 de 6 · Treball Individual i Problemes

Reptes de Nivell d'Examen i Problemes Pràctics (Ex. 5 a Ex. 8)

⏱️ 13 minuts

Ara toca resoldre de manera individual com a l'examen. En els problemes 7 i 8, escriu primer a la llibreta si cal aplicar $\operatorname{MCD}$ o $\operatorname{mcm}$ i per què:

Exercici 5 Nivell Examen · Claudàtors

Calcula pas a pas l'expressió combinada:

$$50 - 2 \cdot \left[18 - (7 - 3)^2 \div 2\right] + \sqrt{81}$$

💡 Pista

Comença per $(7 - 3)^2 = 4^2 = 16$. Dins del claudàtor fes la divisió $16 \div 2$ abans de restar a $18$.

🔐 Solució pas a pas

1. Parèntesi interior i potència: $(7 - 3)^2 = 4^2 = 16$.
2. Dins del claudàtor: $18 - 16 \div 2 = 18 - 8 = \mathbf{10}$.
3. Arrel quadrada: $\sqrt{81} = 9$.
4. Substituïm i multipliquem: $50 - 2 \cdot 10 + 9 = 50 - 20 + 9 = 30 + 9 = \mathbf{39}$.

Exercici 6 Nivell Examen · Tres nombres

Descompon en factors primers els nombres $12$, $18$ i $30$, i calcula el seu màxim comú divisor i el seu mínim comú múltiple:

$$\operatorname{MCD}(12, 18, 30) \qquad \text{i} \qquad \operatorname{mcm}(12, 18, 30)$$

💡 Pista

Perquè un factor formi part del $\operatorname{MCD}$, s'ha de repetir en tots tres nombres alhora.

🔐 Solució pas a pas

$12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$ i $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
$\operatorname{MCD}(12, 18, 30) = 2 \cdot 3 = \mathbf{6}$ (comuns als tres amb menor exponent).
$\operatorname{mcm}(12, 18, 30) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = \mathbf{180}$.

Exercici 7 Problema Pràctic · Lots a l'institut

Al departament de matemàtiques tenim $48$ regles i $72$ compassos. Volem preparar el màxim nombre possible de capses idèntiques per a les aules sense que sobri cap material. Quantes capses podrem fer i quants regles i compassos aniran a cada capsa?

💡 Pista

Volem repartir en capses iguals sense sobrants: el nombre de capses ha de ser divisor de $48$ i de $72$. Calcula primer el $\operatorname{MCD}(48, 72)$ i després divideix cada material entre el nombre de capses.

🔐 Solució pas a pas

1. Tria del mètode: repartir sense sobrants en el màxim de grups iguals $\rightarrow \operatorname{MCD}(48, 72)$.
2. Factoritzem: $48 = 2^4 \cdot 3$ i $72 = 2^3 \cdot 3^2 \Rightarrow \operatorname{MCD}(48, 72) = 2^3 \cdot 3 = \mathbf{24}\text{ capses}$.
3. Contingut de cada capsa: $48 \div 24 = \mathbf{2}\text{ regles}$ i $72 \div 24 = \mathbf{3}\text{ compassos}$.

Exercici 8 Problema Pràctic · Autobusos a Puigcerdà

Dues línies d'autobús comarcal surten juntes de l'estació de Puigcerdà a les $8\text{ h}$ del matí. La línia A torna a passar cada $15$ minuts i la línia B cada $20$ minuts. Quants minuts passaran fins que tornin a coincidir totes dues a l'estació? A quina hora en punt coincidiran?

💡 Pista

Busquem la primera coincidència en el futur de dos ritmes que es repeteixen. Calcula el $\operatorname{mcm}(15, 20)$ i passa els minuts a hores.

🔐 Solució pas a pas

1. Tria del mètode: primera coincidència de dos cicles $\rightarrow \operatorname{mcm}(15, 20)$.
2. Factoritzem: $15 = 3 \cdot 5$ i $20 = 2^2 \cdot 5 \Rightarrow \operatorname{mcm}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = \mathbf{60}\text{ minuts}$.
3. Com que $60\text{ minuts} = 1\text{ hora}$, si han sortit a les $8\text{ h}$, tornaran a coincidir a les $\mathbf{9}\text{ h}$ del matí.

Pantalla 6 de 6 · Tancament i Metacognició

Llista de Control per a l'Examen i Tiquet de Sortida

⏱️ 5 minuts

🚫 Els 4 errors que NO cometrem a l'examen

  • Error 1: Sumar o restar abans de multiplicar (per exemple, fer $10 - 2 \cdot 3 = 8 \cdot 3$ en lloc de $10 - 6 = 4$).
  • Error 2: Confondre una potència amb una multiplicació ($3^2 = 9$, mai $6$).
  • Error 3: Posar nombres compostos ($4, 6, 8, 9, 10$) a la dreta de la barra de factorització.
  • Error 4: Donar només el $\operatorname{MCD}$ en un problema de lots i oblidar-se de calcular quantes unitats van a cada lot.

🎟️ Tiquet de sortida individual

Abans de recollir, redacta amb les teves paraules com expliques a un company de classe quan s'ha d'utilitzar el $\operatorname{MCD}$ i quan el $\operatorname{mcm}$ en un problema:

🔐 Criteri d'autoavaluació del tiquet

Has d'indicar clarament que el $\operatorname{MCD}$ s'utilitza per dividir, tallar o repartir quantitats en parts iguals el més grans possible sense que sobri res, mentre que el $\operatorname{mcm}$ s'utilitza quan dos esdeveniments es repeteixen i volem saber quan tornaran a coincidir.

📘 Obre el PDF Guia del Professor