INS Pere Borrell · Curs 2026–2027 · Docent: Rubén Pineda · Aula A309
Sessió pràctica i visual de 55 minuts adaptada a 4t d'ESO PDC: aprofitem el $\operatorname{mcm}$ i el $\operatorname{MCD}$ treballats a la sessió anterior per sumar i simplificar fraccions, calculem potències i arrels quadrades amb sentit geomètric, resolem equacions senzilles de primer grau amb el model de la balança i apliquem tot el conjunt a problemes reals.
Si mengem $\frac{1}{2}$ d'una pizza i després $\frac{1}{4}$ més, per què no podem sumar els denominadors i dir que hem menjat $\frac{2}{6}$? Quin múltiple comú de $2$ i $4$ ens permet tallar totes les porcions de la mateixa mida?
Sumar o restar: busquem el denominador comú amb el $\operatorname{mcm}$ dels denominadors.
Multiplicar: en línia recta ($\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$).
Fracció d'una quantitat: per calcular $\frac{2}{5}\text{ de }60$, dividim $60 \div 5 = 12$ i multipliquem per $2 \rightarrow 24$.
Quan la base és la mateixa:
Calcular $\sqrt{A}$ és preguntar-nos: «Quin nombre multiplicat per ell mateix dona $A$?»
Geomètricament, si un quadrat té àrea $36\,\mathrm{m}^2$, el seu costat mesura $\sqrt{36} = 6\,\mathrm{m}$ perquè $6 \cdot 6 = 36$.
Resolem: $$4x - 5 = x + 7$$
Controls de simulació per projectar exemples guiats a la pissarra:
Fes els càlculs a la llibreta i comprova els resultats en cada apartat:
Calcula el denominador comú $\operatorname{mcm}(4, 6)$ i resol la suma de fraccions següent:
$$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$$
Passa totes dues fraccions a denominador $12$: $\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 2}{12}$.
1. Denominador comú: $\operatorname{mcm}(4, 6) = \mathbf{12}$.
2. Fraccions equivalents: $\frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \mathbf{\frac{11}{12}}$.
Multiplica en línia aquestes dues fraccions i simplifica el resultat dividint pel $\operatorname{MCD}$:
$$\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4}$$
Multiplica $2 \cdot 15$ a dalt i $5 \cdot 4$ a baix. Després divideix tots dos nombres entre $10$.
1. Producte directe: $\frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 4} = \mathbf{\frac{30}{20}}$.
2. Simplifiquem dividint entre $\operatorname{MCD}(30, 20) = 10$: $\frac{30 \div 10}{20 \div 10} = \mathbf{\frac{3}{2}}$.
Redueix a una sola potència de base $2$ i calcula el resultat numèric:
$$\frac{2^5 \cdot 2^2}{2^4}$$
Suma els exponents del numerador ($5 + 2 = 7$) i resta-li l'exponent del denominador ($7 - 4$).
1. Numerador: $2^5 \cdot 2^2 = 2^{5+2} = 2^7$.
2. Divisió: $\frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^{\mathbf{3}}$.
3. Valor: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{8}$.
Calcula el valor de les arrels quadrades i resol l'operació combinada:
$$\sqrt{81} + 2 \cdot \sqrt{25} - 3^2$$
Substitueix $\sqrt{81} = 9$, $\sqrt{25} = 5$ i $3^2 = 9$, i recorda fer la multiplicació $2 \cdot 5$ abans de sumar i restar.
1. Arrels i potències: $\sqrt{81} = \mathbf{9}$, $\sqrt{25} = 5$ i $3^2 = 9$.
2. Substituïm: $9 + 2 \cdot 5 - 9 = 9 + 10 - 9 = \mathbf{10}$.
Resol ara dues equacions de primer grau i dos problemes aplicats a situacions reals:
Resol l'equació agrupant les $x$ a l'esquerra i els nombres a la dreta, i comprova la solució:
$$5x - 4 = 2x + 11$$
Passa el $2x$ restant a l'esquerra ($5x - 2x$) i el $-4$ sumant a la dreta ($11 + 4$).
1. Transposem termes: $5x - 2x = 11 + 4$.
2. Reduïm: $3x = 15 \implies x = \frac{15}{3} = \mathbf{5}$.
3. Comprovació: $5(5) - 4 = 21$ i $2(5) + 11 = 21$.
Desfés primer el parèntesi multiplicant per $3$ i calcula el valor de $x$:
$$3(x - 2) + 4 = 16$$
$3(x - 2) = 3x - 6$. Per tant queda $3x - 6 + 4 = 16 \implies 3x - 2 = 16$.
1. Parèntesi: $3x - 6 + 4 = 16 \implies 3x - 2 = 16$.
2. Aïllem: $3x = 16 + 2 = \mathbf{18}$.
3. Dividim: $x = \frac{18}{3} = \mathbf{6}$.
Un alumne disposa de $60\,€$ per a una sortida escolar. Destina $\frac{2}{5}$ dels diners al transport i $\frac{1}{3}$ dels diners inicials al dinar. Quants euros gasta en el transport, quants en el dinar i quants euros li sobren?
Per calcular $\frac{2}{5}\text{ de }60$, fes $(60 \div 5) \cdot 2$. Per a $\frac{1}{3}\text{ de }60$, fes $60 \div 3$. Després resta la despesa total a $60$.
1. Transport: $\frac{2}{5}\text{ de }60 = \frac{2 \cdot 60}{5} = 2 \cdot 12 = \mathbf{24\,€}$.
2. Dinar: $\frac{1}{3}\text{ de }60 = \frac{60}{3} = \mathbf{20\,€}$.
3. Diners que li queden: $60 - (24 + 20) = 60 - 44 = \mathbf{16\,€}$.
Resol aquests dos casos pràctics:
a) Un hort escolar quadrat té una superfície d'àrea $A = 64\,\mathrm{m}^2$. Quant mesura un costat ($\ell = \sqrt{64}$, en $\mathrm{m}$) i quants metres de tanca calen per envoltar els $4$ costats?
b) Si comprem $3$ llibretes iguals i un bolígraf de $2\,€$ i paguem $14\,€$ en total ($3x + 2 = 14$), quin és el preu $x$ de cada llibreta?
a) Calcula $\sqrt{64}$ i multiplica per $4$ per obtenir el perímetre. b) Resol $3x + 2 = 14$ restant $2$ i dividint entre $3$.
a) Costat: $\ell = \sqrt{64} = \mathbf{8\,\mathrm{m}}$. Tanca total (perímetre): $4 \cdot 8 = \mathbf{32\,\mathrm{m}}$.
b) Equació de compra: $3x + 2 = 14 \implies 3x = 12 \implies x = \frac{12}{3} = \mathbf{4\,€}$ cada llibreta.
Tria un dels blocs d'avui (fraccions, arrels o equacions) i explica amb un exemple propi com comproves que el teu resultat és correcte:
En una arrel quadrada comprovem elevant el resultat al quadrat; en una equació substituïm la $x$ pel nombre trobat i comprovem que tots dos costats de l'igual donen el mateix valor.