← Web 4t ESO
UD1: Nombres Reals Interactiu
Progrés:
0/10
4t d'ESO A • Matemàtiques Aplicades PD 1r Trimestre • Unitat 1 Mòdul Digital Autocorregible

1. Nombres Reals, Potències i Arrels

Mòdul didàctic interactiu basat en els materials oficials del curs: classificació de nombres, aproximacions i errors al laboratori, propietats avançades de potències, extracció de factors i operacions amb radicals.

🗺️ 1. Mapa Conceptual: Classificació dels Nombres Reals ($\mathbb{R}$)

Tots els nombres que fem servir en aquest curs s'organitzen en una jerarquia d'inclusió:

📐 NOMBRES REALS ($\mathbb{R}$)
🟡 1. Nombres Racionals ($\mathbb{Q}$) — Es poden expressar com a fracció $\frac{a}{b}$ amb $a, b \in \mathbb{Z}$ i $b \ne 0$.
• Enters ($\mathbb{Z}$): ↳ Naturals ($\mathbb{N}$): $0, 1, 2, 3, 15, \dots$
↳ Enters Negatius: $-1, -2, -3, -100, \dots$
• Fraccionaris / Decimals: ↳ Decimals Exactes: $0,75 = \frac{3}{4}$; $2,5 = \frac{5}{2}$
↳ Periòdics Purs: $0,\widehat{3} = 0,333\dots = \frac{1}{3}$
↳ Periòdics Mixtes: $0,1\widehat{6} = 0,1666\dots = \frac{1}{6}$
🟣 2. Nombres Irracionals ($\mathbb{I}$) — Decimals infinits NO periòdics. NO es poden escriure en fracció.
• Arrels no exactes: $\sqrt{2} \approx 1,4142\dots$; $\sqrt{3} \approx 1,7320\dots$; $\sqrt{5}, \sqrt[3]{7}$
• Nombres transcendentals: $\pi \approx 3,141592\dots$ (relació circumferència-diàmetre); $e \approx 2,7182\dots$; $\phi \approx 1,6180\dots$ (nombre auri)
⛔ Fora dels Reals ($\notin \mathbb{R}$): Arrels d'índex parell de nombres negatius: $\sqrt{-4}, \sqrt{-9}, \sqrt[4]{-16}$. No tenen solució real perquè cap nombre real elevat al quadrat dóna un resultat negatiu ($(-2)^2 = +4$).

⚖️ 2. Esquema d'Aproximacions i Càlcul d'Errors

Concepte Definició i Fórmula Exemple ($V_{real} = 5,216\text{ g}$)
Truncament Eliminar directament les xifres decimals a partir de l'ordre indicat. A les centèsimes: $\mathbf{5,21\text{ g}}$
A les dècimes: $\mathbf{5,2\text{ g}}$
Arrodoniment Si la xifra següent és $\ge 5$, sumem $+1$ a l'última xifra que guardem. Si és $< 5$, es deixa igual. A les centèsimes: $5,21\mathbf{6} \rightarrow \mathbf{5,22\text{ g}}$
A les dècimes: $5,2\mathbf{1}6 \rightarrow \mathbf{5,2\text{ g}}$
Error Absolut ($E_a$) $$E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$$ Valor positiu sempre, expressat en les mateixes unitats. Si aproximem $5,216$ a $5,2$:
$$E_a = |5,216 - 5,2| = \mathbf{0,016\text{ g}}$$
Error Relatiu ($E_r$) $$E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|} \times 100\%$$ Mesura la precisió real en percentatge. $$E_r = \frac{0,016}{5,216} \times 100 \approx \mathbf{0,31\%}$$ (Molt bona precisió)

⚡ 3. Formulari Resum: Propietats de les Potències

Propietat Fórmula General Exemple Numèric
Producte de mateixa base $$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$ $$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$$
Quocient de mateixa base $$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$ $$\frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625$$
Potència d'una potència $$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$ $$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$$
Exponent negatiu $$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \Big| \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$ $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \quad \Big| \quad \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$
Exponent zero $$a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$$ $$(-7)^0 = 1 \quad \Big| \quad 125^0 = 1$$
Distributiva amb producte/quocient $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \quad \Big| \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$ $$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$$

📐 4. Esquema de Radicals i Arrels

🔗 Exponent Fraccionari

$$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$$

• El numerador és l'exponent.
• El denominador és l'índex de l'arrel.
Exemple: $\sqrt[5]{7^4} = 7^{4/5}$; $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$.

✂️ Extracció de Factors

$$\sqrt{525} = \sqrt{5^2 \cdot 21} = 5\sqrt{21}$$

1. Descompon el radicand en factors primers.
2. Divideix l'exponent pel nombre de l'índex.
3. El quocient surt fora; el residu queda a dins.

➕ Suma de Radicals Semblants

$$a\sqrt[n]{k} + b\sqrt[n]{k} = (a+b)\sqrt[n]{k}$$

Només es poden sumar radicals si tenen el mateix índex i el mateix radicand.
Exemple: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Compte: $\sqrt{3} + \sqrt{2} \ne \sqrt{5}$.

⚠️ 5. Els 5 Errors Típics d'Examen a Evitar!

❌ Error 1: Distributiva de l'arrel

INCORRECTE: $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

CORRECTE: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, mai $3 + 4 = 7$! L'arrel NO és distributiva respecte a la suma.

❌ Error 2: Parèntesi i Signe

INCORRECTE: $-2^4 = +16$

CORRECTE: $(-2)^4 = +16$, però $-2^4 = -(2^4) = \mathbf{-16}$. El signe només s'eleva si va dins del parèntesi!

❌ Error 3: Exponent Negatiu

INCORRECTE: $2^{-3} = -6 \text{ o } -8$

CORRECTE: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \mathbf{\frac{1}{8}} = 0,125$. L'exponent negatiu NO fa el nombre negatiu, sinó que fa l'invers!

❌ Error 4: Arrel de negatius

INCORRECTE: $\sqrt{-9} = -3$

CORRECTE: $\sqrt{-9} \notin \mathbb{R}$ (No és real), perquè $(-3)^2 = +9$. Cap nombre real al quadrat dóna negatiu.

❌ Error 5: Sumar arrels diferents

INCORRECTE: $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

CORRECTE: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ NO es pot simplificar més perquè no són radicals semblants.

🌐

Els Nombres Reals ($\mathbb{R}$)

Estructura i conjunts numèrics

Els nombres reals engloben tots els valors que es poden representar a la recta contínua:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
  • Naturals ($\mathbb{N}$): $0, 1, 2, 3, \dots$ (per comptar).
  • Enters ($\mathbb{Z}$): Inclou els negatius: $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$
  • Racionals ($\mathbb{Q}$): Fraccions $a/b$ i decimals exactes o periòdics.
  • Irracionals ($\mathbb{I}$): Decimals infinits no periòdics com $\sqrt{2}, \sqrt{5}, \pi, \phi$.
💡
Compte: Les arrels d'índex parell de nombres negatius (com $\sqrt{-4}$) NO són reals!
⚖️

Aproximacions i Errors

Mesures reals al laboratori de química

Quan treballem amb mesures físiques (pesos, distàncies), utilitzem aproximacions:

$$\text{Error Absolut: } E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$$ $$\text{Error Relatiu: } E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|} \times 100\%$$

Arrodoniment: Si la xifra següent és $\ge 5$, sumem 1 a l'última xifra que conservem.
Truncament: Simplement tallem les xifres decimals sense alterar les anteriors.

⚠️
Exemple de classe: Si una peça mesura $5,21\text{ cm}$ i l'arrodonim a $5\text{ cm}$, l'error absolut és $|5,21 - 5| = 0,21\text{ cm}$.
⚡

Propietats de les Potències

Regles per operar ràpidament
$$a^n \cdot a^m = a^{n+m} \quad \Big| \quad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$ $$(a^n)^m = a^{n \cdot m} \quad \Big| \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \quad \Big| \quad a^0 = 1$$

Regla del signe: Una base negativa elevada a exponent parell és positiva ($(-2)^4 = 16$). Si l'exponent és imparell, és negativa ($(-2)^3 = -8$).

📐

Radicals i Exponent Fraccionari

El pont entre potències i arrels
$$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \quad \Longleftrightarrow \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

Extracció de factors: Descomponem el radicand en factors primers i traiem fora grups de l'índex:

$$\sqrt{525} = \sqrt{5^2 \cdot 21} = 5\sqrt{21}$$ $$\sqrt[3]{1024} = \sqrt[3]{2^{10}} = \sqrt[3]{2^9 \cdot 2} = 2^3\sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}$$
💡
Per sumar arrels, han de ser radicals semblants (mateix índex i mateix radicand).

🗂️ Eina 1: Classificador Interactiu de Nombres Reals

Clica sobre qualsevol dels nombres de la safata i després clica sobre el conjunt on pertany per classificar-lo correctament:

🟢 Naturals ($\mathbb{N}$)
🔵 Enters ($\mathbb{Z}$)
🟡 Racionals ($\mathbb{Q}$)
🟣 Irracionals ($\mathbb{I}$)
🔴 No Real ($\notin \mathbb{R}$)

⚖️ Eina 2: Calculadora Didàctica d'Errors (Absolut & Relatiu)

Introdueix el valor real i el valor aproximat per veure el desglossament de l'error pas a pas com al laboratori:

✂️ Eina 3: Descompositor i Extractor de Factors d'un Radical

Introdueix el radicand i l'índex per veure la factorització primera i com s'extreuen els factors fora de l'arrel:

Exercici 1 🟢 Fonamental
Classificació de nombres reals

A quin d'aquests conjunts pertany estrictament el nombre $\sqrt{5}$?

💡 Veure resolució pas a pas
$\sqrt{5} = 2,2360679\dots$ Té infinites xifres decimals no periòdiques i no es pot expressar en forma de fracció $a/b$. Per tant, pertany al conjunt dels Nombres Irracionals ($\mathbb{I}$).
Exercici 2 🟢 Fonamental
Laboratori: Arrodoniment a les dècimes

Al laboratori de química, una balança de precisió mesura una massa de $5,216\text{ g}$. Quin és el resultat d'arrodonir aquesta mesura a les dècimes (un sol decimal)?

💡 Veure resolució pas a pas
Per arrodonir a les dècimes, mirem la següent xifra (les centèsimes): en $5,2\mathbf{1}6$, la xifra és $1 < 5$. Com que és menor que 5, la xifra de les dècimes es manté igual: $\mathbf{5,2\text{ g}}$.
Exercici 3 🟢 Fonamental
Dossier Practiquem 3: Error absolut

Tenim un quadrat de costat real $5,21\text{ cm}$. Si arrodonim la mesura a les unitats ($5\text{ cm}$), quin és l'error absolut ($E_a$) comès?

💡 Veure resolució pas a pas
$$E_a = |V_{real} - V_{aprox}| = |5,21 - 5| = \mathbf{0,21\text{ cm}}$$
Exercici 4 🟢 Fonamental
Examen 4t ESO: Arrel a exponent fraccionari

Com s'expressa l'arrel $\sqrt[5]{7^4}$ en forma de potència amb exponent fraccionari?

💡 Veure resolució pas a pas
Segons la propietat $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, el grau de la potència ($4$) és el numerador i l'índex de l'arrel ($5$) és el denominador: $\mathbf{7^{4/5}}$.
Exercici 5 🟡 Consolidació
Propietats de les potències

Calcula el valor exacte de la potència d'exponent negatiu $2^{-3}$ (introdueix-lo en fracció com 1/8 o en decimal com 0.125):

💡 Veure resolució pas a pas
$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \mathbf{\frac{1}{8}} = \mathbf{0,125}$$
Exercici 6 🟡 Consolidació
Examen 4t ESO: Extracció de factors

Extraient el màxim nombre de factors del radical $\sqrt{525}$, quin és el resultat final simplificat?

💡 Veure resolució pas a pas
Descomponem en factors primers: $$525 = 5^2 \cdot 3 \cdot 7 = 5^2 \cdot 21$$ Com que tenim una arrel quadrada, el factor $5^2$ surt fora de l'arrel com a $5$: $$\sqrt{525} = \sqrt{5^2 \cdot 21} = \mathbf{5\sqrt{21}}$$
Exercici 7 🟡 Consolidació
Divisió de radicals de l'Examen 4t ESO

Efectua la divisió $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{5}}$ i extreu factors. El resultat s'escriu en la forma $k\sqrt{15}$. Quin és el valor del coeficient enter $k$?

💡 Veure resolució pas a pas
$$\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{300}{5}} = \sqrt{60}$$ Descomponem $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 15$: $$\sqrt{60} = \sqrt{2^2 \cdot 15} = \mathbf{2\sqrt{15}} \implies k = \mathbf{2}$$
Exercici 8 🔴 Repte
Examen 4t ESO A (Pregunta 8): Suma de radicals

Calcula la suma de radicals no immediats de l'examen: $$3\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[3]{54} - 4\sqrt[3]{2}$$ El resultat final simplificat és de la forma $C \cdot \sqrt[3]{2}$. Quin és el valor del nombre $C$?

💡 Veure resolució pas a pas
1. Descomponem els radicands:
- $16 = 2^4 = 2^3 \cdot 2 \implies \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$
- $54 = 2 \cdot 3^3 \implies \sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$
2. Substituïm a l'expressió multiplicant pels seus coeficients:
$$3(2\sqrt[3]{2}) + 5(3\sqrt[3]{2}) - 4\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2} + 15\sqrt[3]{2} - 4\sqrt[3]{2}$$ 3. Sumem els coeficients comuns:
$$(6 + 15 - 4)\sqrt[3]{2} = \mathbf{17\sqrt[3]{2}} \implies C = \mathbf{17}$$
Exercici 9 🔴 Repte
Arrel d'una arrel

Simplifica l'arrel d'una arrel $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$. Quin és el seu valor numèric exacte?

💡 Veure resolució pas a pas
Mètode 1: Multiplicant els índexs:
$$\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2 \cdot 3]{64} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = \mathbf{2}$$ Mètode 2: De dins cap a fora:
$$\sqrt[3]{64} = 4 \implies \sqrt{4} = \mathbf{2}$$
Exercici 10 🔴 Repte
Autoavaluació Oficial de 4t ESO (Pregunta 1)

Segons l'examen oficial d'autoavaluació, el nombre $8^{-4/3}$ té com a valor:

💡 Veure resolució pas a pas
1. Apliquem l'invers per l'exponent negatiu:
$$8^{-4/3} = \frac{1}{8^{4/3}}$$ 2. Com que $8 = 2^3$:
$$8^{4/3} = (2^3)^{4/3} = 2^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 2^4 = 16$$ 3. Per tant:
$$8^{-4/3} = \frac{1}{16} \implies \mathbf{\text{Un setzé}}$$

📝 Simulacre d'Autoavaluació de la Unitat 1

Aquest simulacre agrupa els conceptes que entraran a la prova oficial d'avaluació de 4t d'ESO A. Comprova si estàs preparat per a l'examen!

📋 Pauta de Criteris d'Avaluació de la UD1:

  • ✅ Classificar correctament qualsevol nombre a $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}$ o $\mathbb{R}$.
  • ✅ Calcular amb precisió l'error absolut ($E_a$) i l'error relatiu ($E_r$) en situacions pràctiques.
  • ✅ Aplicar les propietats de les potències (exponents negatius i fraccionaris).
  • ✅ Descompondre radicands i extreure factors fora de radicals.
  • ✅ Sumar i operar radicals semblants sense calculadora.

Has completat tots els exercicis del banc interactiu?