1. La Recta Real i Tipus d'Intervals

Subconjunts de Nombres Reals

La recta real és una línia contínua i infinita on cada punt representa un nombre real únic. Un interval és un subconjunt de nombres reals compresos entre dos extrems:

🔹 Intervals Acotats

  • Obert $(a, b)$: Nombres entre $a$ i $b$, sense incloure ni $a$ ni $b$ ($a < x < b$). Es dibuixen cercles buits $\circ$.
  • Tancat $[a, b]$: Nombres entre $a$ i $b$, incloent tant $a$ com $b$ ($a \le x \le b$). Es dibuixen punts plens $\bullet$.
  • Semiobert $[a, b)$ o $(a, b]$: Inclou només un dels dos extrems.

🔹 Semirrectes a l'Infinit

  • $(a, +\infty)$: Nombres estrictament més grans que $a$ ($x > a$).
  • $[a, +\infty)$: Nombres més grans o iguals que $a$ ($x \ge a$).
  • $(-\infty, b)$: Nombres estrictament més petits que $b$ ($x < b$).
  • $(-\infty, b]$: Nombres més petits o iguals que $b$ ($x \le b$).

2. Entorns i Desigualtats en Valor Absolut

Centre i Radi

Un entorn $E(c, r)$ defineix una zona simètrica de radi $r$ al voltant d'un centre $c$. Genera l'interval obert $(c - r, c + r)$ i equival a la desigualtat en valor absolut:

$$|x - c| < r \iff c - r < x < c + r \iff x \in (c - r, c + r)$$

Exemple 1 dels Apunts: De l'Interval a l'Entorn

Donat l'interval obert $(-1, 7)$:

  • Centre $c$: $c = \frac{a+b}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$
  • Radi $r$: $r = \frac{b-a}{2} = \frac{7 - (-1)}{2} = 4$
  • Entorn: $E(3, 4)$
  • Valor absolut: $|x - 3| < 4$

Exemple 2 dels Apunts: De l'Entorn a l'Interval

Donat l'entorn $E(3, 2)$ (centre $c = 3$, radi $r = 2$):

  • Extrem esquerre: $c - r = 3 - 2 = 1$
  • Extrem dret: $c + r = 3 + 2 = 5$
  • Interval resultant: $(1, 5)$
  • Desigualtat: $1 < x < 5$ o $|x - 3| < 2$

3. Inequacions de 1r Grau i la Regla del Canvi de Sentit

Resolució Pràctica

Una inequació és una desigualtat algebraica que conté incògnites. Es resol com una equació, amb una única diferència crucial:

🚨 LA REGLA D'OR DE LES INEQUACIONS:
Quan multipliquem o dividim els dos membres d'una desigualtat per un nombre negatiu, el sentit de la desigualtat s'inverteix obligatòriament:
• El símbol $<$ passa a ser $>$
• El símbol $\le$ passa a ser $\ge$
Exemple: $-3x \le 12 \implies x \ge \frac{12}{-3} \implies x \ge -4 \implies [-4, +\infty)$.

🗺️ Taula Comparativa de Notacions i Errors Freqüents

Síntesi del Tema

📋 Equivalències entre Notacions

Interval Tipus Desigualtat Gràfica a la Recta
$(a, b)$ Obert $a < x < b$ Extrems buits $\circ \dots \circ$
$[a, b]$ Tancat $a \le x \le b$ Extrems plens $\bullet \dots \bullet$
$[a, b)$ Semiobert esquerre $a \le x < b$ Ple a $a$, buit a $b$ ($\bullet \dots \circ$)
$[a, +\infty)$ Semirrecta tancada $x \ge a$ Ple a $a$, fletxa a la dreta
$(-\infty, b)$ Semirrecta oberta $x < b$ Buit a $b$, fletxa a l'esquerra

🚨 Els 5 Errors Típics a les Proves d'Inequacions

❌ Error 1: Oblidar invertir el sentit de la desigualtat en dividir per negatiu.
Escriure $-2x < 6 \implies x < -3$ en lloc de $x > -3$. Aquest és l'error més castigat a les proves!
❌ Error 2: Posar claudàtor tancat al símbol d'infinit.
L'infinit $+\infty$ o $-\infty$ mai pot anar amb claudàtor $[+\infty]$, sempre ha d'anar amb parèntesi rodó $(+\infty)$ perquè no és un nombre que es pugui incloure.
❌ Error 3: Confondre claudàtor $[ ]$ amb parèntesi $( )$.
Si la desigualtat té $\le$ o $\ge$, cal posar claudàtor $[$ o $]$ i punt ple $\bullet$. Si té $<$ o $>$, cal posar parèntesi $($ o $)$ i cercle buit $\circ$.
❌ Error 4: Invertir el sentit en sumar o restar en comptes de multiplicar/dividir.
Si fem $x - 5 < 2 \implies x < 7$, el signe NO canvia! Només canvia quan multipliquem o dividim per un negatiu.
❌ Error 5: Confondre el centre amb el radi a la fórmula d'entorn.
El centre és el punt mitjà $c = (a+b)/2$, mentre que el radi és la distància $r = (b-a)/2$.

📏 Visualitzador Dinàmic d'Intervals a la Recta Real

Canvas Interactiu

Selecciona la modalitat d'interval, mou els controls per canviar els extrems $a$ i $b$, i observa com es dibuixa la recta real amb els extrems buits o plens i el segment acolorit:

Presets dels Apunts:

🔍 Resoledor Pas a Pas d'Inequacions de 1r Grau

Alerta de Canvi de Sentit

Introdueix una inequació de la forma $ax + b \le c$. Si $a < 0$, el simulador t'alertarà de la inversió del signe:

✍️ Banc de 10 Exercicis Autocorregibles

Extrets de les fitxes de teoria i pràctica d'intervals i entorns de 4t d'ESO A de l'INS Pere Borrell. Resol-los, comprova les solucions i consulta la resolució pas a pas.

📝 Simulacre d'Examen d'Inequacions (Sobre 10 punts)

Format Test Raonat

Avalua el teu domini dels intervals, entorns i resolució d'inequacions. Cada encert suma 2 punts.