1. Concepte de Funció, Imatges i Antiimatges

Bases de l'Anàlisi

Una funció $y = f(x)$ és una relació entre dues variables en què a cada valor de la variable independent $x$ li correspon un únic valor de la variable dependent $y$.

🔹 Imatge d'un punt $x = a$

És el resultat d'avaluar la funció substituint la $x$ pel valor $a$: es denota per $f(a)$.

Si $f(x) = x^2 - 5 \implies f(4) = 4^2 - 5 = 11$

Cada $x$ té una sola imatge.

🔹 Antiimatges d'un valor $y = b$

Són tots els valors de $x$ que fan que $f(x) = b$. S'obtenen resolent l'equació $f(x) = b$.

$x^2 - 5 = 76 \implies x^2 = 81 \implies x = \pm 9$

Un valor $y$ pot tenir cap, una o vàries antiimatges.

🌐 Domini $\text{Dom}(f)$ i Recorregut $\text{Im}(f)$:
• Domini: Conjunt de tots els valors de $x$ per als quals la funció existeix (projecció a l'eix X).
• Recorregut o Imatge: Conjunt de tots els valors que pren la $y$ (projecció a l'eix Y).

2. Punts de Tall amb els Eixos de Coordenades

Punts Notables

Punt de Tall amb l'Eix Y (Vertical)

S'obté fent $x = 0$ i calculant $f(0)$. Una funció només pot tallar l'eix Y com a màxim en un únic punt: $(0, f(0))$.

Per a $f(x) = \frac{x+3}{2} \implies f(0) = \frac{3}{2} = 1.5 \implies (0, 1.5)$

Punts de Tall amb l'Eix X (Horitzontal)

S'obtenen fent $y = 0$, és a dir, resolent l'equació $f(x) = 0$. S'anomenen arrels o zeros de la funció: $(x_i, 0)$.

Per a $f(x) = x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3 \implies (3, 0) \text{ i } (-3, 0)$

3. Funcions Lineals: Rectes ($y = mx + n$)

Pendent & Ordenada a l'Origen

La seva gràfica és una línia recta contínua en tot $\mathbb{R}$:

$$f(x) = mx + n$$

📐 El Pendent $m$

Indica la inclinació de la recta:

  • Si $m > 0$: La funció és estrictament creixent (puja).
  • Si $m < 0$: La funció és estrictament decreixent (baixa).
  • Si $m = 0$: La funció és constant ($y = n$, recta horitzontal).

📍 L'Ordenada a l'Origen $n$

És el valor de la coordenada $y$ quan $x = 0$. La recta talla sempre l'eix vertical en el punt $(0, n)$.
Si $n = 0$, la funció $y = mx$ passa pel centre de coordenades $(0, 0)$ (funció de proporcionalitat directa).

4. Funcions Quadràtiques: Paràboles ($y = ax^2 + bx + c$)

Vèrtex, Concavitat & Simetria

La seva gràfica és una paràbola simètrica respecte d'una recta vertical que passa pel vèrtex:

1. Coordenades del Vèrtex
$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

L'ordenada $y_v$ es troba avaluant la funció: $y_v = f(x_v)$.

2. Concavitat (Obertura)

• Si $a > 0$: Branques cap amunt $\cup$ (somrient). El vèrtex és un mínim absolut.
• Si $a < 0$: Branques cap avall $\cap$ (trista). El vèrtex és un màxim absolut.

3. Eix de Simetria

És la recta vertical $x = x_v$. Tots els punts de la paràbola estan a la mateixa distància d'aquesta recta.

🗺️ Plantilla Guia per a l'Estudi Complet d'una Funció

Els 8 Punts de l'Examen

Aquesta és l'estructura exacta que es demana als exàmens oficials de 4t d'ESO per analitzar qualsevol gràfica:

📋 Propietats Globals

  1. Domini $\text{Dom}(f)$: Valors de $x$ on hi ha gràfica (ex: $[-6, 8]$ o $\mathbb{R}$).
  2. Recorregut $\text{Im}(f)$: Valors de $y$ que assoleix la funció (ex: $[-4, 7]$).
  3. Punts de tall: Tall X: $(x, 0)$ | Tall Y: $(0, y)$.
  4. Continuïtat: És contínua si es pot dibuixar d'un sol traç sense aixecar el llapis.

📈 Variació i Extrems

  1. Creixement / Decreixement: S'expressen sempre com a intervals de l'eix X!
  2. Màxims i Mínims: Absoluts (el punt més alt/baix de tota la funció) i Relatius (cims o valls locals).
  3. Signe de la funció: Positiu ($f(x) > 0$, per sobre de l'eix X) o Negatiu ($f(x) < 0$, per sota).
  4. Simetria: Parell ($f(-x) = f(x)$, simètrica respecte eix Y) o Senar ($f(-x) = -f(x)$, simètrica respecte l'origen).

🚨 Els 5 Errors Típics que et Resten Nota a l'Examen

❌ Error 1: Expressar els intervals de creixement amb valors de $y$ en comptes de $x$.
Els intervals de creixement i decreixement s'escriuen sempre referits als valors de l'eix horitzontal $x$.
❌ Error 2: Confondre imatge amb antiimatge.
"Calcula la imatge de 4" significa calcular $f(4)$ substituint $x = 4$. "Calcula l'antiimatge de 4" significa resoldre l'equació $f(x) = 4$.
❌ Error 3: Oblidar una de les dues antiimatges a les funcions quadràtiques.
A l'equació $x^2 - 5 = 76 \implies x^2 = 81$, molts alumnes escriuen només $x = 9$ i obliden $x = -9$.
❌ Error 4: Dir que una recta decreixent té pendent positiu.
Si la recta baixa d'esquerra a dreta, el pendent ha de ser obligatòriament negatiu ($m < 0$).
❌ Error 5: Oblidar el signe menys a la fórmula del vèrtex $x_v = -b / (2a)$.
Per a $f(x) = x^2 - 6x + 5$, com que $b = -6$, tenim $x_v = -(-6)/(2) = +3$, no pas $-3$!

📈 Plotter Gràfic Interactiu de Funcions (Canvas)

Visualització en Temps Real

Tria el tipus de funció, mou els controls i passa el ratolí per sobre del gràfic per inspeccionar les coordenades $(x, f(x))$.

Presets d'Examen:

🔍 Calculadora d'Imatges i Antiimatges per a $f(x) = x^2 - 5$

Pregunta Real d'Examen

Calcula a l'instant la imatge de qualsevol punt $x$ o troba totes les antiimatges d'un valor $y$:

Càlcul d'Imatge: f(x)
Càlcul d'Antiimatges: x tals que f(x) = y

✍️ Banc de 10 Exercicis Autocorregibles

Extrets fidelment de l'examen oficial de funcions de 4t d'ESO A de l'INS Pere Borrell. Resol-los, comprova les respostes i revisa la resolució pas a pas desglossada.

📝 Simulacre d'Examen Oficial (Sobre 10 punts)

Format Test Raonat

Posa't a prova amb les preguntes clau de funcions lineals, quadràtiques, imatges i propietats globals. Cada encert suma 2 punts.