1. Experiments Aleatoris i Espai Mostral

Conceptes Fonamentals

Un experiment aleatori és aquell del qual no podem predir el resultat abans de realitzar-lo, encara que el repetim en les mateixes condicions (com llençar un dau o extreure una bola).

🎲 Espai Mostral ($E$ o $\Omega$)

És el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment.

  • Llençar un dau de 12 cares: $E = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ (12 casos).
  • Llençar dos daus de 6 cares: $6 \times 6 = 36$ parelles possibles $(i, j)$.

🎯 Tipus d'Esdeveniments

  • Elemental: Format per un sol resultat (ex: treure un 5).
  • Compost: Format per dos o més resultats (ex: "treure parell" = $\{2, 4, 6\}$).
  • Segur: Passa sempre ($P(E) = 1$).
  • Impossible: No pot passar mai ($P(\emptyset) = 0$).

2. La Llei de Laplace i Operacions amb Esdeveniments

Càlcul de Probabilitats

Si tots els esdeveniments elementals són equiprobables (tenen la mateixa probabilitat de sortir), la probabilitat d'un esdeveniment $A$ es calcula amb la Llei de Laplace:

$$P(A) = \frac{\text{Nombre de casos favorables a } A}{\text{Nombre de casos possibles totals}}$$
1. Esdeveniment Contrari ($\overline{A}$)
$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

"La probabilitat que NO passi $A$ és 1 menys la probabilitat que sí passi."

2. Unió ($A \cup B$ - 'O')
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si són incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), simplement $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

3. Intersecció ($A \cap B$ - 'I')

Casos en què passen $A$ i $B$ simultàniament. Si són independents: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

3. Experiments Compostos i Diagrames d'Arbre

Amb i Sense Reposició

Quan un experiment consta de diverses fases consecutives (com extreure dues boles d'una caixa):

📦 Amb Reposició (Reemplaçament)

La bola extreta es torna a posar a la caixa abans de la segona extracció. El total de boles i la composició són exactament els mateixos a cada fase (esdeveniments independents).

$P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

📦 Sense Reposició (Condicionada)

La bola extreta NO es torna a posar a la caixa. El nombre total de boles disminueix d'1 i el nombre de boles del color que ha sortit també disminueix d'1 (esdeveniments dependents).

$P(V_1 \cap V_2) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

🗺️ Esquema Global de Síntesi

Mapa Conceptual

🎲 Taula de Doble Entrada (Suma de 2 Daus)

Mostra les 36 sumes possibles. Observa com el 7 és el resultat central més freqüent (6 casos):

+123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112

⚖️ Llei dels Grans Nombres

Quan el nombre de repeticions d'un experiment aleatori $N$ creix molt (tendeix a infinit), la freqüència relativa d'un esdeveniment s'estabilitza i s'acosta cada cop més a la seva probabilitat teòrica:

$$\lim_{N \to \infty} f_i = P(A)$$

🚨 Els 5 Errors Freqüents a les Proves de Probabilitat

❌ Error 1: Donar una probabilitat més gran que 1 o negativa.
La probabilitat d'un esdeveniment sempre compleix $0 \le P(A) \le 1$ (o entre $0\%$ i $100\%$). Si et dóna 1.2 o -0.3, has fet un error greu!
❌ Error 2: No distingir entre 'amb reposició' i 'sense reposició'.
Si s'extreu sense reposició, tant el numerador com el denominador canvien a la segona extracció ($\frac{3}{6} \times \frac{2}{5}$).
❌ Error 3: Confondre la Unió ('o', $\cup$) amb la Intersecció ('i', $\cap$).
"Parell O múltiple de 3" inclou qualsevol número que compleixi almenys una condició. "Parell I múltiple de 3" només inclou els que compleixen totes dues alhora (múltiples de 6).
❌ Error 4: Comptar dues vegades els elements comuns a la Unió.
A la unió $P(A \cup B)$, no oblidis restar $P(A \cap B)$ per no sumar dos cops els resultats compartits.
❌ Error 5: Oblidar simplificar les fraccions de probabilitat.
Expressa sempre els resultats com a fraccions irreductibles (ex: escriure $1/3$ en lloc de $4/12$ o $2/6$).

🎲 Simulador Virtual de 2 Daus i Llei dels Grans Nombres

Histograma en Temps Real

Llança els dos daus virtualment i observa com la distribució de freqüències empíriques (barres ambre) s'ajusta exactament a la distribució teòrica de Laplace (línia de punts vermella) a mesura que augmenten les tirades:

1
1
Fes tirades per començar
Suma de les dues cares (de 2 a 12)

📦 Calculadora de l'Urna: Extracció amb / sense Reposició

Pregunta Real d'Examen

Composició de la caixa de l'examen: 3 boles vermelles, 2 boles blaves i 1 bola verda (6 boles en total).

✍️ Banc de 10 Exercicis Autocorregibles

Extrets fidelment de la prova de probabilitat de 4t d'ESO A i E de l'INS Pere Borrell. Resol-los, comprova la teva resposta i consulta les explicacions detallades pas a pas.

📝 Simulacre d'Examen Oficial de Probabilitat (Sobre 10 punts)

Format Test Raonat

Posa a prova els teus coneixements de probabilitat, Llei de Laplace i experiments compostos. Cada encert suma 2 punts.