INS Pere Borrell · Ciències Aplicades II · 2n d'FP Bàsica · Curs 2026–2027

📐 Formulari de Volums i Capacitats de Taller

Guia tècnica de referència ràpida per al càlcul de cossos geomètrics, dipòsits, bombes i transport.

1. Fórmules dels Cossos Geomètrics Tridimensionals

Multipliquem les tres dimensions perpendiculars: llarg ($a$), ample ($b$) i alçada ($c$).

$$V = a \cdot b \cdot c \qquad V_{\text{cub}} = c^3$$

Exemple: Caixa de $4\text{ m} \times 3\text{ m} \times 2\text{ m} \implies V = 24\text{ m}^3$.

Trobem el radi ($r = d / 2$), l'àrea de la base ($A_{\text{base}} = \pi \cdot r^2$) i multipliquem per l'alçada ($h$).

$$r = \frac{d}{2} \qquad A_{\text{base}} = 3{,}14 \cdot r^2 \qquad V = A_{\text{base}} \cdot h$$

Exemple: Diàmetre $2\text{ m}$ ($r = 1\text{ m}$), $h = 3\text{ m} \implies V = 3{,}14 \cdot 1^2 \cdot 3 = 9{,}42\text{ m}^3$.

Un con ocupa exactament $\frac{1}{3}$ del cilindre circumscrit. Recorda dividir sempre entre 3!

$$V_{\text{con}} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3} = \frac{V_{\text{cilindre}}}{3}$$

Exemple: Si el cilindre fa $9{,}42\text{ m}^3 \implies V_{\text{con}} = \frac{9{,}42}{3} = 3{,}14\text{ m}^3$.

La piràmide ocupa $\frac{1}{3}$ del prisma corresponent. Calculem l'àrea de la base i dividim entre 3.

$$A_{\text{base}} = c^2 \qquad V_{\text{piràmide}} = \frac{A_{\text{base}} \cdot h}{3}$$

Exemple: Base de $3\text{ m} \times 3\text{ m}$ ($9\text{ m}^2$), $h = 4\text{ m} \implies V = \frac{9 \cdot 4}{3} = 12\text{ m}^3$.

Calculem el radi ($r = d / 2$), el cub del radi ($r^3 = r \cdot r \cdot r$) i apliquem la fórmula:

$$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{4 \cdot 3{,}14 \cdot r^3}{3}$$

Exemple: Radi $r = 3\text{ m} \implies r^3 = 27 \implies V = \frac{4 \cdot 3{,}14 \cdot 27}{3} = 113{,}04\text{ m}^3$.

Descomponem el tanc en cossos coneguts (cilindre superior + tremuja cònica inferior) i sumem:

$$V_{\text{total}} = V_{\text{cilindre}} + V_{\text{con}}$$

Exemple: $V_{\text{cil}} = 9{,}42\text{ m}^3$, $V_{\text{con}} = 1{,}57\text{ m}^3 \implies V_{\text{tot}} = 10{,}99\text{ m}^3$.

Unitat de Volum	Equivalència en Litres	Equivalència en Mil·lilitres / Submúltiples	Ús típic al taller
$1\text{ m}^3$ (metre cúbic)	$1000\text{ litres}$	$1\,000\,000\text{ mL}$ ($1000\text{ dm}^3$)	Grans dipòsits de combustible, aigua i àrids.
$1\text{ dm}^3$ (decímetre cúbic)	$1\text{ litre}$	$1000\text{ mL} = 1000\text{ cm}^3$	Bidons d'oli de motor, refrigerants i additius.
$1\text{ cm}^3$ (centímetre cúbic, cc)	$0{,}001\text{ litres}$	$1\text{ mL} = 1\text{ cc}$	Cilindrada de motors, xeringues i lubricants de precisió.

El cabal ($Q$) mesura quants litres impulsa la bomba per unitat de temps (en $\text{L/min}$ o $\text{m}^3/\text{h}$).

$$Q = \frac{V}{t} \iff t = \frac{V_{\text{litres}}}{Q} \iff V = Q \cdot t$$

Exemple: Dipòsit de $6000\text{ L}$ amb bomba de $100\text{ L/min} \implies t = \frac{6000}{100} = 60\text{ min}$ ($1\text{ h}$).

Per comprovar que la furgoneta no superi la Càrrega Útil Màxima:

$$\rho = \frac{m}{V} \iff m = V_{\text{litres}} \cdot \rho \iff \text{Marge} = \text{Màx} - m$$

Exemple: $1200\text{ L}$ de gasoil ($\rho = 0{,}85\text{ kg/L}$) $\implies m = 1200 \cdot 0{,}85 = 1020\text{ kg}$.

Fluid / Material de taller	Densitat en $\text{kg/L}$	Densitat en $\text{kg/m}^3$	Comportament respecte a l'aigua
Aigua pura	$1{,}00\text{ kg/L}$	$1000\text{ kg/m}^3$	Referència ($1\text{ L} = 1\text{ kg}$).
Gasoil (automoció / calefacció)	$0{,}85\text{ kg/L}$	$850\text{ kg/m}^3$	Més lleuger que l'aigua (sura).
Oli de motor hidràulic	$0{,}90\text{ kg/L}$	$900\text{ kg/m}^3$	Més lleuger que l'aigua.
Formigó fresc	$2{,}40\text{ kg/L}$	$2400\text{ kg/m}^3$	Molt pesat ($1\text{ m}^3 = 2400\text{ kg} = 2{,}4\text{ tones}$).
Acer estructural	$7{,}85\text{ kg/L}$	$7850\text{ kg/m}^3$	Material metàl·lic pesat.

Confondre diàmetre amb radi: Si et donen el diàmetre ($d$), divideix sempre primer entre 2 ($r = d / 2$). Mai elevat al quadrat el diàmetre sencer!
Oblidar dividir entre 3 en cons i piràmides: Un con o una piràmide tenen punxa i ocupen exactament un terç del volum ($V / 3$).
Barrejar unitats: Si les mides estan en metres, el volum sortirà en $\text{m}^3$. Multiplica per $1000$ per passar a litres. No barregis centímetres i metres en la mateixa multiplicació.
Criteri decimal oficial: Escriu sempre els decimals amb coma (`12,5`, `3,14`), mai amb punt (`12.5`).