MCD: repartir al màxim
El màxim comú divisor és el divisor positiu més gran que comparteixen els nombres. Serveix per fer el màxim nombre de grups idèntics o tallar peces tan llargues com sigui possible, sense sobrants.
4t d’ESO PDC · Primer trimestre · Repàs
mcm i MCD
Coincidir, repartir i decidir.
INS Pere Borrell · Rubén Pineda · Curs 2026–2027
Durada orientativa: 55 minuts. Recordatori guiat: 10 minuts; càlcul: 15 minuts; problemes: 25 minuts; revisió: 5 minuts.
Objectius: descompondre en factors primers, calcular el mínim comú múltiple i el màxim comú divisor i triar quin necessitem en una situació quotidiana.
Encara no has comprovat cap exercici.
Abans de començar
mcm: trobar la primera coincidència
El mínim comú múltiple és el múltiple positiu més petit que comparteixen els nombres. Serveix per trobar quan coincideixen dos ritmes o una quantitat mínima compatible amb dos formats.
Exemple guiat: dos nombres, dos resultats diferents
Amb $12$ i $20$, primer descomponem: $12=2^2\cdot3$ i $20=2^2\cdot5$.
Factors comuns, exponent més petit: $\operatorname{MCD}(12,20)=2^2=4$.
Tots els factors, exponent més gran: $\operatorname{mcm}(12,20)=2^2\cdot3\cdot5=60$.
Comprovem: $12\div4=3$, $20\div4=5$, $60\div12=5$ i $60\div20=3$.
Atenció: multiplicar els dos nombres no sempre dona el mcm. Si un nombre divideix l’altre, el petit és el MCD i el gran és el mcm.
1. Practiquem el càlcul
Fes les descomposicions a la llibreta abans de comprovar les respostes.
Exercici 01
Calculem amb $8$ i $12$
Descompon $8$ i $12$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$8=2^3$ i $12=2^2\cdot3$. MCD: $2^2=4$. mcm: $2^3\cdot3=24$. Comprovació: $4\cdot24=8\cdot12=96$.
Exercici 02
Calculem amb $18$ i $24$
Descompon $18$ i $24$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$18=2\cdot3^2$ i $24=2^3\cdot3$. MCD: $2\cdot3=6$. mcm: $2^3\cdot3^2=72$. Comprovació: $6\cdot72=18\cdot24=432$.
Exercici 03
Calculem amb $20$ i $30$
Descompon $20$ i $30$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$20=2^2\cdot5$ i $30=2\cdot3\cdot5$. MCD: $2\cdot5=10$. mcm: $2^2\cdot3\cdot5=60$. Comprovació: $10\cdot60=20\cdot30=600$.
Exercici 04
Calculem amb $9$ i $15$
Descompon $9$ i $15$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$9=3^2$ i $15=3\cdot5$. MCD: $3=3$. mcm: $3^2\cdot5=45$. Comprovació: $3\cdot45=9\cdot15=135$.
Exercici 05
Calculem amb $16$ i $40$
Descompon $16$ i $40$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$16=2^4$ i $40=2^3\cdot5$. MCD: $2^3=8$. mcm: $2^4\cdot5=80$. Comprovació: $8\cdot80=16\cdot40=640$.
Exercici 06
Calculem amb $7$ i $21$
Descompon $7$ i $21$ en factors primers. Calcula el MCD i el mcm i comprova que el MCD divideix tots dos nombres i que el mcm és múltiple de tots dos.
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Per al MCD, agafa només els factors comuns amb l’exponent més petit. Per al mcm, agafa tots els factors amb l’exponent més gran.
Solució pas a pas
$7=7$ i $21=3\cdot7$. MCD: $7=7$. mcm: $3\cdot7=21$. Comprovació: $7\cdot21=7\cdot21=147$.
2. Triem el mètode
Dades fictícies per practicar. En cada problema, escriu primer «mcm» o «MCD» i explica per què. Dona la resposta amb les unitats indicades.
Exercici 07
Autobusos a Puigcerdà
Dos autobusos surten junts. Un surt cada $12$ minuts i l’altre cada $18$ minuts. Quant temps passarà fins que tornin a sortir junts per primera vegada?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Busca el primer múltiple positiu que comparteixen els dos intervals.
Solució pas a pas
$12=2^2\cdot3$ i $18=2\cdot3^2$. Cal el mcm: $\operatorname{mcm}(12,18)=2^2\cdot3^2=36$. Tornaran a coincidir al cap de $36$ minuts.
Exercici 08
Lots de material
Tenim $24$ llapis i $36$ gomes. Volem fer el màxim nombre de lots idèntics, sense que sobri res. Quants lots podem fer? Quants llapis i quantes gomes hi haurà a cada lot?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
El nombre de lots ha de dividir exactament les dues quantitats. Després reparteix cada material entre els lots.
Solució pas a pas
$24=2^3\cdot3$ i $36=2^2\cdot3^2$. $\operatorname{MCD}(24,36)=2^2\cdot3=12$ lots. A cada lot: $24\div12=2$ llapis i $36\div12=3$ gomes.
Exercici 09
Tires per decorar
Tenim dues tires de paper de $48$ cm i $60$ cm. Les tallem en peces de la mateixa llargada, tan llargues com sigui possible, sense sobrants. Quant ha de mesurar cada peça? Quantes peces obtindrem en total?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
La llargada ha de ser un divisor de totes dues tires. Suma les peces de les dues tires.
Solució pas a pas
$48=2^4\cdot3$ i $60=2^2\cdot3\cdot5$. $\operatorname{MCD}(48,60)=12$ cm. $48\div12=4$ i $60\div12=5$: en total $4+5=9$ peces.
Exercici 10
Llums intermitents
Dos llums s’encenen junts ara. Un s’encén cada $8$ segons i l’altre cada $10$ segons. Quan coincidiran de nou per primera vegada?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Es repeteixen dos ritmes: busca la primera coincidència posterior a l’inici.
Solució pas a pas
$8=2^3$ i $10=2\cdot5$. $\operatorname{mcm}(8,10)=2^3\cdot5=40$. Coincidiran al cap de $40$ segons.
Exercici 11
Caixes de sucs
Els sucs de poma es venen en caixes de $6$ unitats i els de préssec en caixes de $8$ unitats. Volem comprar la mateixa quantitat de cada sabor, la mínima positiva possible, sense obrir caixes. Quants sucs de cada sabor comprarem? Quantes caixes de cada sabor?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
La quantitat de cada sabor ha de ser un múltiple de les dues mides de caixa.
Solució pas a pas
$6=2\cdot3$ i $8=2^3$. $\operatorname{mcm}(6,8)=24$ sucs de cada sabor. $24\div6=4$ caixes de poma i $24\div8=3$ de préssec.
Exercici 12
Repte final: equips
Hi ha $30$ alumnes d’un grup i $45$ d’un altre. Volem formar el màxim nombre d’equips amb la mateixa composició: cada equip ha de tenir el mateix nombre d’alumnes del primer grup i el mateix del segon. Tothom ha de participar. Quants equips podem fer? Quants alumnes hi haurà a cada equip en total?
Escriu el procediment i justifica el mètode a la llibreta.
Pista
Repartim dues quantitats sense sobrants. Un cop trobats els equips, suma els alumnes dels dos grups de cada equip.
Solució pas a pas
$30=2\cdot3\cdot5$ i $45=3^2\cdot5$. $\operatorname{MCD}(30,45)=15$ equips. Cada equip té $30\div15=2$ alumnes del primer grup i $45\div15=3$ del segon: $2+3=5$ alumnes.
Tiquet de sortida
Explica a una parella la diferència entre buscar una coincidència i repartir sense sobrants. Tria un exercici de cada tipus i justifica el resultat.