1. Nombres Racionals, Decimals i Aproximacions
Document curricular oficial adaptat per a 4t d'ESO A. Aprèn a operar amb fraccions a la vida real, calcular parts de grups, arrodonir imports de diners i fer estimacions ràpides al supermercat.
1. Nombres Enters i Fraccions a la Vida Quotidiana
Els nombres racionals són tots aquells que es poden expressar en forma de fracció $\frac{a}{b}$. S'utilitzen constantment a la vida real per expressar parts d'un total (repartiments de pizzes, descomptes de rebaixes, proporcions a la cuina o barreges de taller).
💡 Regles clau per operar amb fraccions:
- Suma/Resta amb mateix denominador: Deixem el mateix denominador i sumem/restem els numeradors. Ex: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}$.
- Suma/Resta amb diferent denominador: Cal trobar el Mínim Comú Múltiple (MCM). Ex: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$.
- Multiplicació (en línia): Multipliquem numerador per numerador i denominador per denominador. Ex: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
- Divisió (en creu): Multipliquem en creu el primer numerador pel segon denominador. Ex: $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$.
✍️ Activitats Pràctiques: Operacions amb Fraccions
Calcula cadascuna d'aquestes operacions i escriu el resultat en fracció irreducible (ex: 7/5):
💡 Veure resolució pas a pas
a) Tenen el mateix denominador 5: $\frac{3+4}{5} = \mathbf{\frac{7}{5}}$.
b) $\text{mcm}(6, 3) = 6$. Passem a denominador comú: $\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}}$.
c) Multipliquem en línia: $\frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12}$. Dividim entre 6: $\mathbf{\frac{3}{2}}$.
d) Multipliquem en creu: $\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10}$. Simplifiquem entre 2: $\mathbf{\frac{6}{5}}$.
En una classe de 24 alumnes de 4t d'ESO, $\frac{2}{3}$ van triar l'optativa de tecnologia i $\frac{1}{4}$ van triar plàstica.
💡 Veure resolució pas a pas
• Tecnologia: Calculem $\frac{2}{3}$ de $24 = \frac{2 \cdot 24}{3} = \frac{48}{3} = \mathbf{16\text{ alumnes}}$.
• Plàstica: Calculem $\frac{1}{4}$ de $24 = \frac{24}{4} = \mathbf{6\text{ alumnes}}$.
Comprovació: $16 + 6 = 22$ alumnes. Els 2 restants no van triar cap d'aquestes dues.
La Maria ha gastat $\frac{2}{5}$ dels seus estalvis en roba i $\frac{1}{3}$ en llibres.
💡 Veure resolució pas a pas
• Total gastat: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \mathbf{\frac{11}{15}}$ del total.
• Fracció que li queda: Restem del total sencer ($1 = \frac{15}{15}$): $\frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \mathbf{\frac{4}{15}}$.
2. Decimals, Arrodoniments i Estimacions
Quan treballem amb diners a botigues, compres o mesures al laboratori i al taller, fem servir nombres decimals i sovint necessitem arrodonir per facilitar el pagament i el càlcul mental ràpid.
💡 Com arrodonim correctament?
- Arrodonir als cèntims (2 xifres decimals / centèsimes): Mirem la 3a xifra decimal. Si és un $5$ o superior ($\ge 5$), sumem $1$ a la 2a xifra. Si és menor de $5$, la deixem igual.
Exemple: $14,846\text{ €} \rightarrow$ com que la 3a xifra és $6 \ge 5$, arrodonim cap amunt a $\mathbf{14,85\text{ €}}$. - Truncar: Simplement tallem els decimals sobrants sense modificar la xifra anterior.
Exemple: $14,846\text{ €}$ truncat als cèntims és $\mathbf{14,84\text{ €}}$. - Estimació ràpida: Aproximem a la unitat més propera abans d'operar per saber si tindrem prou diners. Si comprem 3 articles a $4,95\text{ €}$, estimem $3 \cdot 5 = 15\text{ €}$ en 2 segons.
✍️ Activitats d'Arrodoniment i Estimació
Arrodoneix cadascun d'aquests valors als 2 decimals més propers:
💡 Veure resolució pas a pas
a) $3,45\mathbf{8}$: La 3a xifra és 8 ($\ge 5$), sumem 1 a la centèsima $\rightarrow \mathbf{3,46}$.
b) $12,90\mathbf{4}$: La 3a xifra és 4 ($< 5$), es queda igual $\rightarrow \mathbf{12,90}$.
c) $0,87\mathbf{5}$: La 3a xifra és 5 ($\ge 5$), sumem 1 $\rightarrow \mathbf{0,88}$.
d) $9,99\mathbf{6}$: La 3a xifra és 6 ($\ge 5$), sumem 1 i passa a $\mathbf{10,00}$.
Vas al supermercat amb un bitllet de 20 €. Compres:
• 4 ampolles d'oli a 3,85 € cadascuna.
• 2 pans a 1,15 € cadascun.
💡 Veure resolució pas a pas
• Estimació mental: 4 ampolles a 4 € són uns 16 €. 2 pans a 1 € són 2 €. Total estimat: $16 + 2 = 18\text{ €}$. Com que $18 < 20$, sí que tindrem prou diners.
• Càlcul exacte:
Oli: $4 \cdot 3,85 = 15,40\text{ €}$.
Pa: $2 \cdot 1,15 = 2,30\text{ €}$.
Total compra: $15,40 + 2,30 = \mathbf{17,70\text{ €}}$.
• Canvi exacte: $20 - 17,70 = \mathbf{2,30\text{ €}}$ (1 moneda de 2 € + 1 moneda de 20 cèntims + 1 moneda de 10 cèntims).