2. Potències de Base 10, Notació Científica i Arrels
Document curricular oficial adaptat per a 4t d'ESO A. Aprèn a expressar grans magnituds i dimensions microscòpiques amb potències de 10, aplicar la notació científica i calcular superfícies i arrels quadrades en geometria.
1. Potències de Base 10 i Notació Científica
Les potències de base 10 permeten expressar quantitats astronòmiques o microscòpiques d'una manera compacta i rigorosa, comptant simplement la posició de la coma decimal:
💡 Potències de 10 i Notació Científica:
- Potències positives: $10^1 = 10$, $10^2 = 100$, $10^3 = 1.000$, $10^6 = 1.000.000$ (1 milió). L'exponent indica el nombre de zeros.
- Potències negatives: $10^{-1} = 0,1$ (dècima), $10^{-2} = 0,01$ (centèsima), $10^{-3} = 0,001$ (mil·lèsima).
- Notació Científica: S'expressa sempre com un nombre enter entre $1$ i $9$, seguit de decimals i multiplicat per $10^n$:
• Població mundial: $8.000.000.000\text{ habitants} = \mathbf{8 \cdot 10^9\text{ hab}}$.
• Gruix d'un cabell humà: $0,00008\text{ m} = \mathbf{8 \cdot 10^{-5}\text{ m}}$.
✍️ Activitats Pràctiques: Potències de 10
10^4)
🟢 Fonamental
Escriu cada nombre com una potència de 10 (utilitza el format 10^n):
💡 Veure resolució pas a pas
a) $10.000$: Té 4 zeros $\rightarrow \mathbf{10^4}$.
b) $1.000.000$: Té 6 zeros $\rightarrow \mathbf{10^6}$.
c) $0,001$: Té 3 posicions decimals $\rightarrow \mathbf{10^{-3}}$.
d) $0,00001$: Té 5 posicions decimals $\rightarrow \mathbf{10^{-5}}$.
1.5*10^8)
🟡 Notació Científica
Tradueix aquestes magnituds reals utilitzant el format a*10^b:
💡 Veure resolució pas a pas
a) Movem la coma 8 posicions a l'esquerra: $\mathbf{1,5 \cdot 10^8\text{ km}}$.
b) Movem la coma 6 posicions a la dreta: $\mathbf{2 \cdot 10^{-6}\text{ m}}$.
c) Movem la coma 7 posicions a l'esquerra: $\mathbf{4,5 \cdot 10^7\text{ €}}$.
Calcula el valor numèric final de cadascuna d'aquestes operacions:
💡 Veure resolució pas a pas
a) Mateixa base, sumem exponents: $2^{3+2} = 2^5 = \mathbf{32}$.
b) Mateixa base, restem exponents: $5^{4-2} = 5^2 = \mathbf{25}$.
c) Potència d'una potència, multipliquem: $3^{2 \cdot 3} = 3^6 = \mathbf{729}$.
d) Sumem exponents: $10^{5+3} = \mathbf{10^8}$.
2. Arrels Quadrades Exactes i Significat Geomètric
L'arrel quadrada d'un nombre és aquell valor que multiplicat per si mateix dóna el nombre inicial. Té un significat geomètric directe: si coneixem l'àrea d'un terreny quadrat, l'arrel quadrada ens indica exactament la mesura del seu costat.
💡 Arrels quadrades bàsiques i quadrats perfectes:
$\sqrt{1}=1,\; \sqrt{4}=2,\; \sqrt{9}=3,\; \sqrt{16}=4,\; \sqrt{25}=5,\; \sqrt{36}=6,\; \sqrt{49}=7,\; \sqrt{64}=8,\; \sqrt{81}=9,\; \sqrt{100}=10,\; \sqrt{144}=12$.
Exemple geomètric: Un terreny quadrat té una superfície de $64\text{ m}^2$. Quin és el costat del terreny?
$\text{Costat} = \sqrt{64} = \mathbf{8\text{ metres}}$.
✍️ Activitats d'Arrels Quadrades
Calcula el valor exacte d'aquestes arrels:
💡 Veure resolució pas a pas
$\sqrt{49}=\mathbf{7}$ (perquè $7 \cdot 7 = 49$), $\sqrt{81}=\mathbf{9}$, $\sqrt{100}=\mathbf{10}$, $\sqrt{144}=\mathbf{12}$, $\sqrt{400}=\mathbf{20}$ (perquè $20 \cdot 20 = 400$).
Indica entre quins dos nombres enters consecutius es troben aquestes arrels (Ex: com que $\sqrt{9} < \sqrt{12} < \sqrt{16}$, està entre 3 i 4):
💡 Veure resolució pas a pas
a) $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} \rightarrow \mathbf{4\text{ i }5}$.
b) $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} \rightarrow \mathbf{7\text{ i }8}$.
c) $\sqrt{64} < \sqrt{80} < \sqrt{81} \rightarrow \mathbf{8\text{ i }9}$.
Volem enrajolar una habitació quadrada que té una superfície exacta de $36\text{ m}^2$.
💡 Veure resolució pas a pas
• Llargada de la paret: L'àrea és $A = c^2 = 36\text{ m}^2 \rightarrow \text{Costat} = \sqrt{36} = \mathbf{6\text{ metres}}$.
• Metres de sòcol (perímetre): Com que un quadrat té 4 parets iguals, $P = 4 \cdot 6 = \mathbf{24\text{ metres}}$.