INS Pere Borrell · Curs 2026–2027 · Docent: Rubén Pineda · Aula A004
De dos bits a una suma.
Classe 20 · Portes lògiques i electrònica digital al PC
Sessió ordinària de 55 minuts que connecta l'electricitat de les Classes 18 i 19 amb la informàtica digital del Bloc A2: descobrim com els nivells de tensió ($0\,\mathrm{V}$ i $5\,\mathrm{V}$) es converteixen en bits ($0$ i $1$), com els circuits en sèrie i paral·lel formen les portes lògiques AND, OR i NOT i com podem construir una petita calculadora amb una porta XOR i una AND.
⏳ Durada: 55 minuts🔌 Connexió: Circuits Sèrie/Paral·lel (Classe 18) + Capacitat Digital (Bloc A2)🎛️ Simulador Interactiu de 6 portes + 10 reptes de taller💡 Pistes i solucions pas a pas
Pantalla 1 de 60 de 10 reptes resolts
Pantalla 1 de 6 · Punt de partida i continuïtat
De la Tensió Elèctrica als Bits ($0$ i $1$) del Processador
⏱️ 5 minuts
🔗 Com connectem l'electricitat amb els bits?
A la Classe 18 tenim una proposta per estudiar la tensió ($V$) i veure com funcionen els circuits en sèrie (un sol camí) i en paral·lel (dues branques).
Dins d'un ordinador o d'una placa Arduino no hi ha «zeros» ni «uns» pintats als cables: només hi ha nivells de tensió elèctrica!
Bit $0$ (Fals / Baix / LOW): absència de tensió, prop de $\mathbf{0\,\mathrm{V}}$.
Bit $1$ (Cert / Alt / HIGH): presència de tensió, habitualment $\mathbf{5\,\mathrm{V}}$ (USB/Arduino) o $\mathbf{3{,}3\,\mathrm{V}}$ (placa base).
🗺️ Seqüència de la sessió (55 min)
00–05 min: Com es tradueixen els volts ($0\,\mathrm{V}$ / $5\,\mathrm{V}$) en bits ($0$ / $1$).
05–15 min: Les 3 portes fonamentals (NOT, AND, OR) i la seva equivalència amb interruptors en sèrie i paral·lel.
15–27 min: Portes combinades (NAND, NOR, XOR) i banc interactiu de simulació.
27–38 min: Pràctica guiada: ex. 1, 2 i 3. Ex. 4 com a reforç de percentatges.
38–50 min: Taller: ex. 5 i 6, i repte central de suma (ex. 9). Ex. 7, 8 i 10 per ampliar; el 10 es pot treballar en una segona sessió de 15 minuts.
50–55 min: Resum i tiquet de sortida individual.
Model del laboratori: fem servir dos nivells ideals de $0\,\mathrm{V}$ i $5\,\mathrm{V}$. Els circuits reals interpreten intervals de tensió segons el dispositiu. Els casos de taller són simplificacions didàctiques amb dades fictícies.
💬 Pregunta inicial per debatre a l'aula A004:
Per engegar un servidor de manera segura cal que l'interruptor posterior de la font estigui actiu ($A = 1$) I que premem el botó frontal de la caixa ($B = 1$). Amb quin tipus de circuit de la Classe 18 (sèrie o paral·lel) ho muntaríeu?
Pantalla 2 de 6 · Concepte Clau 1
Les 3 Portes Bàsiques (NOT, AND, OR) i els Circuits Sèrie / Paral·lel
⏱️ 10 minuts
Una porta lògica és un circuit electrònic format per transistors que rep un o més bits d'entrada ($A, B$) i produeix un bit de sortida ($Y$) segons una regla matemàtica exacta:
🔄 1. Porta NOT (Inversor)
Té una sola entrada ($A$) i inverteix l'estat lògic:
$$Y = \overline{A}$$
Si entra $0$ ($0\,\mathrm{V}$), surt $1$ ($5\,\mathrm{V}$). Si entra $1$, surt $0$. Activa en $\frac{1}{2} = 0{,}5 = \mathbf{50\,\%}$ dels casos.
Entrada $A$
Sortida $Y = \overline{A}$
$0$
$\mathbf{1}$
$1$
$\mathbf{0}$
🔗 2. Porta AND (Sèrie)
Equival a dos interruptors en SÈRIE. Només dóna $1$ si totes dues entrades valen $1$:
$$Y = A \cdot B$$
Surt $1$ en $1$ de $4$ combinacions: fracció $\frac{1}{4} = 0{,}25 = \mathbf{25\,\%}$.
$A$
$B$
$Y = A \cdot B$
$0$
$0$
$0$
$0$
$1$
$0$
$1$
$0$
$0$
$1$
$1$
$\mathbf{1}$
⚡ 3. Porta OR (Paral·lel)
Equival a dos interruptors en PARAL·LEL. Dóna $1$ si almenys una entrada val $1$:
$$Y = A + B$$
Surt $1$ en $3$ de $4$ combinacions: fracció $\frac{3}{4} = 0{,}75 = \mathbf{75\,\%}$.
$A$
$B$
$Y = A + B$
$0$
$0$
$0$
$0$
$1$
$\mathbf{1}$
$1$
$0$
$\mathbf{1}$
$1$
$1$
$\mathbf{1}$
OR no és una suma aritmètica. El signe $+$ aquí vol dir «O»: amb dues entrades actives, la porta OR dona $1$. En una suma ordinària, $1+1=2$, que en binari s'escriu $10_2$. Ho construirem al repte 9.
📝 Exemple Resolt 1: Connexió amb fraccions, percentatges i nivells de tensió
En una placa de control a $5\,\mathrm{V}$ tenim dues entrades amb $A = 5\,\mathrm{V}$ (bit $1$) i $B = 0\,\mathrm{V}$ (bit $0$):
Si les connectem a una porta AND ($A \cdot B$): com que és un circuit en sèrie i l'interruptor $B$ està obert ($0$), la sortida és $Y = 1 \cdot 0 = \mathbf{0}$ ($\mathbf{0\,\mathrm{V}}$).
Si les connectem a una porta OR ($A + B$): com que és un circuit en paral·lel i la branca $A$ està tancada ($1$), el corrent passa per $A$ i la sortida és $Y = 1 + 0 = \mathbf{1}$ ($\mathbf{5\,\mathrm{V}}$).
Pantalla 3 de 6 · Concepte Clau 2 + Banc Digital
Portes Combinades (NAND, NOR, XOR) i Simulador Interactiu
⏱️ 12 minuts
🛡️ Porta NAND (NOT + AND)
$$Y = \overline{A \cdot B}$$
És l'oposada a la porta AND: dóna $1$ sempre, excepte quan totes dues entrades són $1$ ($\frac{3}{4} = 75\,\%$ dels casos). Els xips de memòria SSD (NAND Flash) es construeixen amb milions d'aquestes portes!
🚫 Porta NOR (NOT + OR)
$$Y = \overline{A + B}$$
És l'oposada a la porta OR: només dóna $1$ quan totes dues entrades estan a $0$ ($A=0$ i $B=0$, és a dir, $\frac{1}{4} = 25\,\%$ dels casos). S'utilitza per detectar quan tot un sistema està en repòs.
⚖️ Porta XOR (OR Exclusiva)
$$Y = A \oplus B$$
Dóna $1$ només quan les dues entrades són diferents entre si ($0$ i $1$, o $1$ i $0$; fracció $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 50\,\%$). És com el commutador de dos interruptors del passadís de casa i la base per sumar bits a la CPU!
🎛️ Banc Virtual de Portes Lògiques (Tria la porta i commuta els interruptors $A$ i $B$)
Com reconèixer els símbols de les sis portes
Conveni de formes distintives: AND té forma de D; OR té l’entrada corba; XOR afegeix una segona corba a l’entrada. El cercle petit a la sortida indica inversió: NAND és una AND invertida, NOR és una OR invertida i NOT és un triangle amb cercle.
Pràctica Guiada: Voltatges, Taules de Veritat i Percentatges (Ex. 1 a 4)
⏱️ 11 minuts
Resol cada exercici a la llibreta i introdueix el resultat als camps en blanc per validar-lo:
Exercici 1Voltatges, Bits i Porta NOT
En una placa Arduino del taller que treballa amb lògica de $5\,\mathrm{V}$, mesurem al pin d'entrada $A$ una tensió de $5\,\mathrm{V}$.
a) Quin bit lògic ($0$ o $1$) representa aquesta entrada $A$?
b) Si passem aquest senyal per una porta inversora NOT ($Y = \overline{A}$), quin bit ($0$ o $1$) obtindrem a la sortida?
💡 Pista
Recorda que la tensió alta ($5\,\mathrm{V}$) correspon a l'estat actiu, i que la porta NOT inverteix el bit.
🔐 Solució pas a pas
a) Una tensió de $5\,\mathrm{V}$ (estat alt) correspon al bit $\mathbf{1}$.
b) La porta NOT inverteix el valor: $Y = \overline{1} = \mathbf{0}$ ($0\,\mathrm{V}$).
Exercici 2Porta AND i Circuit en Sèrie
Tenim una porta AND ($Y = A \cdot B$), que funciona com dos interruptors en sèrie:
a) Quina és la sortida $Y$ quan l'entrada $A = 1$ i l'entrada $B = 0$?
b) De les $4$ combinacions possibles de la taula de veritat, només $1$ encén la sortida ($\frac{1}{4}$). Quin percentatge ($\,\%$) de les combinacions dona sortida $1$?
💡 Pista
En sèrie, si un dels dos interruptors està obert ($B=0$), no passa corrent. Per al percentatge, calcula $\frac{1}{4} \cdot 100$.
🔐 Solució pas a pas
a) En una porta AND, $Y = 1 \cdot 0 = \mathbf{0}$.
b) La fracció $\frac{1}{4} = 0{,}25$, que multiplicat per $100$ representa el $\mathbf{25}\,\%$ de les combinacions.
Exercici 3Porta OR i Circuit en Paral·lel
Connectem dues línies a una porta OR ($Y = A + B$), equivalent a dos interruptors en paral·lel:
a) Quina és la sortida $Y$ si l'entrada $A = 0$ i l'entrada $B = 1$?
b) Com que s'activa en $3$ de les $4$ files de la taula ($\frac{3}{4}$), quin percentatge ($\,\%$) de combinacions dona sortida $1$?
💡 Pista
En paral·lel, n'hi ha prou que una branca estigui tancada ($B=1$) perquè passi el corrent. Calcula $\frac{3}{4} \cdot 100$.
🔐 Solució pas a pas
a) A la porta OR, $Y = 0 + 1 = \mathbf{1}$.
b) La fracció $\frac{3}{4} = 0{,}75$, és a dir, el $\mathbf{75}\,\%$ dels casos possibles.
Exercici 4Portes XOR i NAND · Decimals
Analitzem les portes combinades quan totes dues entrades estan actives ($A = 1$ i $B = 1$):
a) Quina és la sortida $Y$ d'una porta XOR ($A \oplus B$) si $A = 1$ i $B = 1$?
b) La porta XOR s'activa en $2$ de les $4$ files ($\frac{2}{4}$). Expressa aquesta fracció en nombre decimal (amb coma).
💡 Pista
La porta XOR només dóna $1$ quan les dues entrades són diferents. Si són iguals, dóna $0$. Divideix $2$ entre $4$.
🔐 Solució pas a pas
a) Com que les dues entrades són iguals ($A=1, B=1$), la porta XOR dóna $1 \oplus 1 = \mathbf{0}$.
b) La fracció $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}$.
Pantalla 5 de 6 · Aplicació Professional al Taller
Casos Reals al Maquinari del PC i l'Aula Taller (Ex. 5 a 8)
⏱️ 12 minuts
Exercici 5Font ATX · Encesa Segura
Una font d'alimentació ATX només arrenca el PC ($Y = 1$, donant $5\,\mathrm{V}$ de control) si es compleixen alhora dues condicions: l'interruptor posterior està encès ($A = 1$) I el senyal de tensió Power_OK és correcte ($B = 1$).
a) Si $A = 1$ i $B = 1$ en aquesta porta AND, quin bit surt a $Y$?
b) Quants volts ($\mathrm{V}$) hi haurà a la sortida $Y$ en aquest moment?
💡 Pista
Totes dues condicions valen $1$ en una porta AND, i l'estat actiu $1$ equival a la tensió alta del circuit.
🔐 Solució pas a pas
a) Sortida lògica: $Y = A \cdot B = 1 \cdot 1 = \mathbf{1}$.
b) En lògica de $5\,\mathrm{V}$, el bit $1$ correspon a $\mathbf{5\,\mathrm{V}}$.
Exercici 6Alarma Tèrmica de Servidor
El sistema d'alarma d'un servidor s'activa ($Y = 1$) si el sensor de temperatura de la CPU supera el límit ($A = 1$) O si el detector de fum del rack s'activa ($B = 1$), mitjançant una porta OR.
a) Si la CPU s'escalfa ($A = 1$) però no hi ha fum ($B = 0$), quin bit dóna l'alarma $Y$?
b) De les $4$ combinacions possibles d'entrades, en quantes d'elles estarà sonant l'alarma ($Y = 1$)?
💡 Pista
En una porta OR n'hi ha prou que una entrada sigui $1$. Revisa quantes files de la taula OR tenen sortida $1$.
🔐 Solució pas a pas
a) $Y = A + B = 1 + 0 = \mathbf{1}$ (l'alarma sona).
b) La porta OR s'activa en $\mathbf{3}$ de les $4$ combinacions (`01`, `10` i `11`).
Exercici 7Circuit Combinat · 2 Portes
Un circuit de protecció combina una porta AND seguida d'una porta OR segons la fórmula $Y = (A \cdot B) + C$. Sabem que les entrades actuals són $A = 1$, $B = 0$ i $C = 1$:
a) Quin valor ($0$ o $1$) surt de la primera porta intermèdia $P = A \cdot B$?
b) Quin és el resultat final de sortida $Y = P + C$?
💡 Pista
Calcula primer el parèntesi $1 \cdot 0$ (porta AND) i després suma lògicament el resultat amb $C = 1$ (porta OR).
🔐 Solució pas a pas
a) Pas 1 (porta AND): $P = A \cdot B = 1 \cdot 0 = \mathbf{0}$.
b) Pas 2 (porta OR): $Y = P + C = 0 + 1 = \mathbf{1}$.
Exercici 8Integració · Xip Lògic i Consum
Al taller utilitzem un xip integrat (sèrie 74HC08 amb $4$ portes AND) alimentat a $V = 5\,\mathrm{V}$ que consumeix un corrent total d'$I = 0{,}02\,\mathrm{A}$:
a) Quants mil·liamperes ($\mathrm{mA}$) són $0{,}02\,\mathrm{A}$? (Recorda: $1\,\mathrm{A} = 1000\,\mathrm{mA}$).
b) Quina potència elèctrica $P = V \cdot I$ (en $\mathrm{W}$) consumeix aquest xip?
💡 Pista
Multiplica $0{,}02$ per $1000$ per obtenir els $\mathrm{mA}$. Per a la potència, multiplica $5\,\mathrm{V} \cdot 0{,}02\,\mathrm{A}$ i escriu el resultat amb coma decimal.
🔐 Solució pas a pas
a) Conversió a mil·liamperes: $0{,}02\,\mathrm{A} \cdot 1000 = \mathbf{20\,\mathrm{mA}}$.
b) Potència elèctrica: $P = V \cdot I = 5\,\mathrm{V} \cdot 0{,}02\,\mathrm{A} = \mathbf{0{,}1\,\mathrm{W}}$.
Exercici 9Repte central · Una calculadora de dos bits
Com pot sumar un ordinador?
Construeix un semisumador: suma dos bits d'entrada, sense transport d'entrada. Connecta les mateixes entrades a dues portes: la XOR dona el bit de suma $S=A\oplus B$; la AND dona el transport $C=A\cdot B$.
El resultat es llegeix en l'ordre transport, suma: $CS$. El transport ocupa la posició dels dosos i la suma la de les unitats: $A+B=2\cdot C+S$ (suma aritmètica).
Primer, resol sense el simulador. Suma $A=1$ i $B=1$: calcula cada porta, escriu els dos bits en l'ordre $CS$ i converteix el resultat a decimal. Dibuixa al quadern les dues entrades bifurcades cap a XOR i AND.
Circuit interactiu de suma
Prem les entrades A i B del dibuix o els botons per canviar els bits i veure la suma i el transport en directe. Aquests botons són controls de simulació; comencen amb les dues entrades desactivades.
💡 Pista: on va la unitat que ens emportem?
Amb dues entrades iguals, què retorna XOR? I què retorna AND quan totes dues estan actives? Col·loca el transport a l'esquerra i comprova el resultat amb $2\cdot C+S$.
Solució pas a pas
La XOR calcula $S=1\oplus1=0$. La AND calcula $C=1\cdot1=1$. Llegim $CS=10_2$: $2\cdot1+0=2$. Per tant, $1+1=10_2=2_{10}$. Una OR tota sola només donaria un bit i perdria el transport.
Exercici 10Ampliació · Suma de quatre bits
Una suma amb més dígits i transport
Suma $1011_2+0110_2$. Escriu el resultat amb cinc bits, el valor decimal i el transport final $C_4$. Comença per la columna de la dreta, de pes $1$, i porta el transport a la següent.
Un sumador complet també rep el transport d’entrada. Per columna, conserva la igualtat $A_i+B_i+C_i=S_i+2\cdot C_{i+1}$. Quatre sumadors connectats permeten sumar els quatre bits. És un model lògic ideal; no simula els temps elèctrics de propagació.
Al quadern: anota A, B, transport d’entrada, suma i transport de sortida per a cada columna. El botó «Segueix el transport» comença per la columna següent a la seleccionada; la columna inicial és la de pes $1$.
💡 Pista
Identifica els pesos $8,4,2,1$. A cada columna suma també el transport que arriba: si el total és $2$ o $3$, escriu el bit de les unitats i passa un transport a l’esquerra.
Solució pas a pas
De dreta a esquerra: columna de pes $1$: $1+0+0=1$, suma $1$ i transport $0$. Pes $2$: $1+1+0=2$, suma $0$ i transport $1$. Pes $4$: $0+1+1=2$, suma $0$ i transport $1$. Pes $8$: $1+0+1=2$, suma $0$ i transport final $1$.
Resultat complet: $1011_2+0110_2=10001_2$. En decimal: $11+6=17$. El transport final és $C_4=1$ i té pes $16$; si només conservéssim quatre bits, veuríem $0001_2$ i perdríem aquest transport.
Pantalla 6 de 6 · Conclusions i Tancament
Idees Clau de la Sessió i Tiquet de Sortida
⏱️ 5 minuts
📌 Resum de Portes Lògiques i Electricitat
Bit $0$ vs Bit $1$: $0\,\mathrm{V}$ representa el $0$ lògic i $5\,\mathrm{V}$ (o $3{,}3\,\mathrm{V}$) representa l'$1$ lògic.
Porta AND ($A \cdot B$): circuit en sèrie; només surt $1$ quan totes les entrades són $1$ ($\frac{1}{4} = 25\,\%$).
Porta OR ($A + B$): circuit en paral·lel; surt $1$ si almenys una entrada és $1$ ($\frac{3}{4} = 75\,\%$).
Porta NOT ($\overline{A}$): inverteix el bit d'entrada ($\frac{1}{2} = 50\,\%$).
Porta XOR ($A \oplus B$): surt $1$ quan les dues entrades són diferents ($\frac{2}{4} = 50\,\%$).
🎟️ Tiquet de sortida individual
Al taller volem dissenyar un sistema per a una guillotinadora de xapa que només funcioni ($Y = 1$) quan l'operari premi el botó esquerre ($A = 1$) I alhora el botó dret ($B = 1$) per protegir-se les mans. Explica quina porta lògica cal utilitzar i a quin tipus de connexió elèctrica (sèrie o paral·lel) equival:
🔐 Criteri de revisió
Cal utilitzar una porta AND ($Y = A \cdot B$), que equival a connectar els dos polsadors en sèrie: si l'operari deixa anar qualsevol dels dos botons ($0$), el circuit s'obre i la màquina s'atura en aquest model ($Y = 0$). És una analogia de lògica: un sistema de seguretat real necessita controls específics addicionals.