Practiquem 2: Potències
Consolidació, repàs i ampliació de les propietats de les potències: 8 exercicis i 32 apartats resolts pas a pas, descomposició en factors primers, càlcul algebraic i operacions combinades complexes.
Com treballar aquesta fitxa
Objectius d'aprenentatge: dominar les propietats fonamentals de les potències (productes, quocients i potències de potències), aplicar correctament els exponents enters negatius $\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\right)$, simplificar fraccions numèriques mitjançant la descomposició en factors primers i reduir expressions algebraiques literals.
Pautes de treball autònom: resol cada apartat al teu quadern abans de desplegar la solució guiada. Comprova no només el resultat numèric final, sinó la seqüència de passos i l'aplicació ordenada de les propietats algebraiques.
Resum per descarregar
Resum de tres pàgines amb les propietats essencials, els resultats dels 32 apartats i la resolució abreujada de l’operació combinada final.
Descarrega el resum en PDF (3 pàgines)1. Redueix a una sola potència
Expressem cada factor com a potència de la mateixa base entera o fraccionària i apliquem les propietats: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ i $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$.
a) $\frac{1}{3^3} \cdot \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-4}$
Procediment pas a pas:
- Expressem el primer factor amb exponent negatiu en base $3$: $$\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$$
- Apliquem la potència d'una potència al segon factor: $$\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-4} = \left(3^{-2}\right)^{-4} = 3^{(-2)\cdot(-4)} = 3^8$$
- Multipliquem les dues potències de la mateixa base sumant els exponents: $$3^{-3} \cdot 3^8 = 3^{-3 + 8} = 3^5$$
b) $\left(\frac{1}{2^2}\right)^5 : \left(\frac{1}{2^{-2}}\right)^3$
Procediment pas a pas:
- Convertim les fraccions a potències de base $2$: $$\left(\frac{1}{2^2}\right)^5 = \left(2^{-2}\right)^5 = 2^{-2 \cdot 5} = 2^{-10}$$ $$\left(\frac{1}{2^{-2}}\right)^3 = \left(2^2\right)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$$
- Dividim restant els exponents: $$2^{-10} : 2^6 = 2^{-10 - 6} = 2^{-16}$$
c) $\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot 7^4$
Procediment pas a pas:
- Expressem tots els factors en base $7$: $$\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^2$$ $$\left(\frac{1}{7}\right)^3 = 7^{-3}$$ $$7^4 = 7^4$$
- Multipliquem les tres potències sumant tots els exponents: $$7^2 \cdot 7^{-3} \cdot 7^4 = 7^{2 + (-3) + 4} = 7^{3}$$
d) $5^{-4} \cdot \left(\frac{1}{5^2}\right)^3$
Procediment pas a pas:
- Expressem el segon factor en base $5$: $$\left(\frac{1}{5^2}\right)^3 = \left(5^{-2}\right)^3 = 5^{-2 \cdot 3} = 5^{-6}$$
- Multipliquem sumant exponents: $$5^{-4} \cdot 5^{-6} = 5^{-4 + (-6)} = 5^{-10}$$
e) $(2^{-3})^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$
Procediment pas a pas:
- Calculem la potència de potència del primer factor: $$(2^{-3})^5 = 2^{-3 \cdot 5} = 2^{-15}$$
- Podem agrupar primer els dos factors de base $\frac{1}{2}$: $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 + (-4)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2$$
- Multipliquem els dos termes finals en base $2$: $$2^{-15} \cdot 2^2 = 2^{-15 + 2} = 2^{-13}$$
f) $(10^3)^{-2} : \frac{1}{(10^4)^2}$
Procediment pas a pas:
- Simplifiquem el dividend: $$(10^3)^{-2} = 10^{3 \cdot (-2)} = 10^{-6}$$
- Simplifiquem el divisor: $$(10^4)^2 = 10^{4 \cdot 2} = 10^8 \implies \frac{1}{(10^4)^2} = \frac{1}{10^8} = 10^{-8}$$
- Dividim restant els exponents: $$10^{-6} : 10^{-8} = 10^{-6 - (-8)} = 10^{-6 + 8} = 10^2$$
2. Simplifica i redueix les següents potències
Combinem potències de la mateixa base i potències amb el mateix exponent: $a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n$. Recordem també el signe de les bases negatives: $(-a)^n = a^n$ si $n$ és parell.
a) $\frac{5^3}{5^5} \cdot 3^{-2}$
Procediment pas a pas:
- Simplifiquem la fracció de base $5$: $$\frac{5^3}{5^5} = 5^{3 - 5} = 5^{-2}$$
- Com que tots dos factors tenen el mateix exponent $-2$, agrupem les bases: $$5^{-2} \cdot 3^{-2} = (5 \cdot 3)^{-2} = 15^{-2} = \frac{1}{15^2} = \frac{1}{225}$$
b) $2^5 \cdot 3^2 \cdot 2^{-3}$
Procediment pas a pas:
- Agrupem les potències de base $2$: $$2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2$$
- Ara multipliquem potències amb el mateix exponent $2$: $$2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$$
c) $\frac{5^{-8}}{(5^3)^{-4}} \cdot (-2)^4$
Procediment pas a pas:
- Desenvolupem el denominador de base $5$: $$(5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}$$
- Dividim les potències de base $5$: $$\frac{5^{-8}}{5^{-12}} = 5^{-8 - (-12)} = 5^{-8 + 12} = 5^4$$
- Calculem el factor $(-2)^4$: en tenir exponent parell, el signe és positiu: $$(-2)^4 = 2^4$$
- Agrupem les potències amb el mateix exponent $4$: $$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10\,000$$
d) $2^4 \cdot 2 \cdot 3^{-3} \cdot 3^{-2}$
Procediment pas a pas:
- Agrupem les bases $2$ (recordant que $2 = 2^1$): $$2^4 \cdot 2^1 = 2^{4 + 1} = 2^5$$
- Agrupem les bases $3$: $$3^{-3} \cdot 3^{-2} = 3^{-3 + (-2)} = 3^{-5}$$
- Expressem amb exponent comú positiu o com a fracció irreductible: $$2^5 \cdot 3^{-5} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243}$$
e) $(-2)^4 \cdot (-2)^{-2} \cdot 7^2$
Procediment pas a pas:
- Multipliquem les potències de base $-2$: $$(-2)^4 \cdot (-2)^{-2} = (-2)^{4 + (-2)} = (-2)^2 = 4 = 2^2$$
- Agrupem amb la potència de base $7$ que té el mateix exponent $2$: $$2^2 \cdot 7^2 = (2 \cdot 7)^2 = 14^2 = 196$$
f) $\frac{(2^{-3} \cdot 2^4)^3}{5^{-3}}$
Procediment pas a pas:
- Operem l'interior del parèntesi: $$2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-3 + 4} = 2^1 = 2$$
- Elevem al cub: $$(2^1)^3 = 2^3$$
- Pugem el denominador al numerador canviant el signe de l'exponent: $$\frac{2^3}{5^{-3}} = 2^3 \cdot 5^3$$
- Agrupem les bases sota l'exponent comú $3$: $$(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1\,000$$
3. Simplifica aplicant les propietats de les potències
Estratègia bàsica: descomposem totes les bases compostes en factors primers ($6=2\cdot3$, $9=3^2$, $10=2\cdot5$, $14=2\cdot7$, $16=2^4$, $21=3\cdot7$, $25=5^2$). Després agrupem cada nombre primer i restem exponents.
a) $\frac{3^5 \cdot 9^3}{6^3}$
Procediment pas a pas:
- Descomponem en factors primers: $$9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$$ $$6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$$
- Substituïm i agrupem el numerador: $$\frac{3^5 \cdot 3^6}{2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^{5 + 6}}{2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^{11}}{2^3 \cdot 3^3}$$
- Simplifiquem la base $3$ restant els exponents: $$\frac{3^{11 - 3}}{2^3} = \frac{3^8}{2^3} = \frac{6\,561}{8}$$
b) $\frac{10^3 \cdot (5^2)^3}{5^3 \cdot 25}$
Procediment pas a pas:
- Descomponem en factors primers: $$10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$$ $$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$$ $$25 = 5^2$$
- Agrupem les bases iguals al numerador i al denominador: $$\text{Numerador: } 2^3 \cdot 5^3 \cdot 5^6 = 2^3 \cdot 5^{3 + 6} = 2^3 \cdot 5^9$$ $$\text{Denominador: } 5^3 \cdot 5^2 = 5^{3 + 2} = 5^5$$
- Simplifiquem la potència de $5$: $$\frac{2^3 \cdot 5^9}{5^5} = 2^3 \cdot 5^{9 - 5} = 2^3 \cdot 5^4 = 8 \cdot 625 = 5\,000$$
c) $\frac{21 \cdot 2^5}{6^3 \cdot 14}$
Procediment pas a pas:
- Descomponem cadascuna de les bases: $$21 = 3 \cdot 7$$ $$14 = 2 \cdot 7$$ $$6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$$
- Substituïm i agrupem termes per bases primes: $$\frac{(3 \cdot 7) \cdot 2^5}{(2^3 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{2^5 \cdot 3^1 \cdot 7^1}{2^{3+1} \cdot 3^3 \cdot 7^1} = \frac{2^5 \cdot 3 \cdot 7}{2^4 \cdot 3^3 \cdot 7}$$
- Simplifiquem cada factor primer:
- El factor $7$: $\frac{7}{7} = 1$
- El factor $2$: $\frac{2^5}{2^4} = 2^{5 - 4} = 2^1 = 2$
- El factor $3$: $\frac{3^1}{3^3} = 3^{1 - 3} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
d) $\frac{8^{-2} \cdot 2^5 \cdot 4^3 \cdot (3^{-2})^3}{3^5 \cdot 16 \cdot 2^7}$
Procediment pas a pas:
- Convertim totes les potències a bases $2$ i $3$: $$8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$$ $$4^3 = (2^2)^3 = 2^6$$ $$(3^{-2})^3 = 3^{-2 \cdot 3} = 3^{-6}$$ $$16 = 2^4$$
- Agrupem el numerador: $$2^{-6} \cdot 2^5 \cdot 2^6 \cdot 3^{-6} = 2^{-6 + 5 + 6} \cdot 3^{-6} = 2^5 \cdot 3^{-6}$$
- Agrupem el denominador: $$3^5 \cdot 2^4 \cdot 2^7 = 2^{4 + 7} \cdot 3^5 = 2^{11} \cdot 3^5$$
- Dividim numerador entre denominador restant els exponents: $$\frac{2^5 \cdot 3^{-6}}{2^{11} \cdot 3^5} = 2^{5 - 11} \cdot 3^{-6 - 5} = 2^{-6} \cdot 3^{-11} = \frac{1}{2^6 \cdot 3^{11}}$$
4. Redueix tot el que puguis
Operem amb potències de fraccions i exponents negatius aplicant $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.
a) $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 2^{-3}$
Procediment pas a pas:
- Expressem tots els factors en base $2$: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2^{-2}$$ $$2^{-3} = 2^{-3}$$
- Sumem els exponents: $$2^1 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{-3} = 2^{1 - 2 - 3} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$$
b) $\left(\frac{5}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{-1}$
Procediment pas a pas:
- Invertim la fracció amb exponent $-1$: $$\left(\frac{10}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{10}$$
- Descomponem en factors primers: $$\frac{5^2}{3^2} \cdot \frac{3^2}{2 \cdot 5} = \frac{5^2 \cdot 3^2}{3^2 \cdot 2 \cdot 5}$$
- Cancel·lem els factors comuns ($3^2$ amb $3^2$, i $5^2/5 = 5$): $$= \frac{5}{2}$$
c) $\left(\frac{1}{5}\right)^{-8} \cdot 5^{-6} \cdot \frac{1}{5^{-2}}$
Procediment pas a pas:
- Convertim cada factor a potència entera de base $5$: $$\left(\frac{1}{5}\right)^{-8} = (5^{-1})^{-8} = 5^8$$ $$5^{-6} = 5^{-6}$$ $$\frac{1}{5^{-2}} = 5^2$$
- Multipliquem sumant els exponents: $$5^8 \cdot 5^{-6} \cdot 5^2 = 5^{8 - 6 + 2} = 5^4 = 625$$
d) $\left[\left(\frac{1}{7}\right)^2\right]^6 \cdot (7^5)^2$
Procediment pas a pas:
- Multipliquem els exponents de cada potència de potència: $$\left[\left(\frac{1}{7}\right)^2\right]^6 = \left(\frac{1}{7}\right)^{2 \cdot 6} = \left(\frac{1}{7}\right)^{12} = 7^{-12}$$ $$(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$$
- Multipliquem sumant els exponents: $$7^{-12} \cdot 7^{10} = 7^{-12 + 10} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$
e) $\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right]^2 : \left[\left(\frac{5}{2}\right)^3\right]^2$
Procediment pas a pas:
- Calculem la potència de potència a banda i banda: $$\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right]^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{2}\right)^4$$ $$\left[\left(\frac{5}{2}\right)^3\right]^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^{3 \cdot 2} = \left(\frac{5}{2}\right)^6$$
- Dividim les dues potències de base comú $\frac{5}{2}$: $$\left(\frac{5}{2}\right)^4 : \left(\frac{5}{2}\right)^6 = \left(\frac{5}{2}\right)^{4 - 6} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$$
5. Simplifica
Operem fraccions amb potències compostes i bases negatives: factoritzem tot en nombres primers i vigilem la paritat dels exponents per determinar el signe.
a) $\frac{25^2 \cdot 2^3 \cdot 6^2}{3^3 \cdot 8^2 \cdot 5^4}$
Procediment pas a pas:
- Descomponem les bases compostes: $$25^2 = (5^2)^2 = 5^4$$ $$6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$$ $$8^2 = (2^3)^2 = 2^6$$
- Agrupem el numerador: $$5^4 \cdot 2^3 \cdot (2^2 \cdot 3^2) = 2^{3 + 2} \cdot 3^2 \cdot 5^4 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4$$
- Agrupem el denominador: $$3^3 \cdot 2^6 \cdot 5^4 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^4$$
- Dividim i simplifiquem factor a factor: $$\frac{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4}{2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^4} = 2^{5 - 6} \cdot 3^{2 - 3} \cdot 5^{4 - 4} = 2^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot 5^0 = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$
b) $\frac{27^2 \cdot (-3)^2}{((-3)^3)^2}$
Procediment pas a pas:
- Analitzem els signes i descomponem en base $3$: $$27^2 = (3^3)^2 = 3^6$$ $$(-3)^2 = 3^2 \quad \text{(l'exponent 2 és parell)}$$ $$\text{Numerador: } 3^6 \cdot 3^2 = 3^{6 + 2} = 3^8$$
- Al denominador, calculem la potència de potència: $$((-3)^3)^2 = (-3)^{3 \cdot 2} = (-3)^6 = 3^6 \quad \text{(exponent 6 parell)}$$
- Dividim restant els exponents: $$\frac{3^8}{3^6} = 3^{8 - 6} = 3^2 = 9$$
c) $\frac{12^2 \cdot 2^3 \cdot 30^2}{3^3 \cdot 8^2 \cdot 5^4}$
Procediment pas a pas:
- Descomponem totes les bases compostes: $$12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$$ $$30^2 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$$ $$8^2 = (2^3)^2 = 2^6$$
- Agrupem el numerador: $$(2^4 \cdot 3^2) \cdot 2^3 \cdot (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) = 2^{4 + 3 + 2} \cdot 3^{2 + 2} \cdot 5^2 = 2^9 \cdot 3^4 \cdot 5^2$$
- Agrupem el denominador: $$3^3 \cdot 2^6 \cdot 5^4 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^4$$
- Dividim terme a terme: $$\frac{2^9 \cdot 3^4 \cdot 5^2}{2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^4} = 2^{9 - 6} \cdot 3^{4 - 3} \cdot 5^{2 - 4} = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^{-2} = \frac{8 \cdot 3}{5^2} = \frac{24}{25}$$
6. Fes servir les propietats de les potències
Reducció d'expressions algebraiques amb lletres ($x$, $y$, $z$). Suposem variables reals no nul·les ($x, y, z \ne 0$).
a) $x^{-3} \cdot x^5 \cdot x$
Procediment pas a pas:
- Recordem que quan una variable no té exponent explícit, el seu exponent és $1$: $x = x^1$.
- Sumem tots els exponents: $$x^{-3 + 5 + 1} = x^3$$
b) $(x^5 \cdot x^0 \cdot x^3)^{-2}$
Procediment pas a pas:
- Apliquem la propietat de l'exponent zero: per a $x \ne 0$, $x^0 = 1$.
- Agrupem les potències de l'interior del parèntesi: $$x^5 \cdot 1 \cdot x^3 = x^{5 + 3} = x^8$$
- Apliquem la potència d'una potència: $$(x^8)^{-2} = x^{8 \cdot (-2)} = x^{-16} = \frac{1}{x^{16}}$$
c) $\frac{x^5 \cdot y^{-3}}{y^{-5} \cdot x^3}$
Procediment pas a pas:
- Agrupem per cadascuna de les variables restant els exponents del denominador:
- Per a $x$: $x^{5 - 3} = x^2$
- Per a $y$: $y^{-3 - (-5)} = y^{-3 + 5} = y^2$
- Com que tenen el mateix exponent $2$, també podem escriure-ho com a potència d'un producte: $$x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$$
d) $\frac{x^3 \cdot x^{-2} \cdot y^3 \cdot z^8}{(z^4)^2 \cdot y^4 \cdot x^{-7}}$
Procediment pas a pas:
- Agrupem el numerador: $$x^{3 + (-2)} \cdot y^3 \cdot z^8 = x^1 \cdot y^3 \cdot z^8$$
- Desenvolupem el denominador amb la potència de potència $(z^4)^2 = z^8$: $$x^{-7} \cdot y^4 \cdot z^8$$
- Dividim restant els exponents de cada lletra:
- Per a $x$: $x^{1 - (-7)} = x^{1 + 7} = x^8$
- Per a $y$: $y^{3 - 4} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
- Per a $z$: $z^{8 - 8} = z^0 = 1$
7. Aplica les propietats de les potències
Combinació de potències de potències i potències d'un producte amb variables literals $a, b \ne 0$.
a) $\frac{(a^3)^{-1} \cdot a^{-2}}{(a^4)^{-2}}$
Procediment pas a pas:
- Calculem les potències de potència: $$(a^3)^{-1} = a^{3 \cdot (-1)} = a^{-3}$$ $$(a^4)^{-2} = a^{4 \cdot (-2)} = a^{-8}$$
- Agrupem el numerador: $$a^{-3} \cdot a^{-2} = a^{-3 + (-2)} = a^{-5}$$
- Dividim restant els exponents: $$\frac{a^{-5}}{a^{-8}} = a^{-5 - (-8)} = a^{-5 + 8} = a^3$$
b) $\frac{(b^3 \cdot b^{-2})^4}{b^6}$
Procediment pas a pas:
- Operem l'interior del parèntesi: $$b^3 \cdot b^{-2} = b^{3 - 2} = b^1 = b$$
- Apliquem l'exponent exterior $4$: $$(b)^4 = b^4$$
- Dividim restant exponents: $$\frac{b^4}{b^6} = b^{4 - 6} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$$
c) $\frac{a^2 \cdot (b^3)^{-1}}{(a \cdot b)^{-2}}$
Procediment pas a pas:
- Desenvolupem el numerador: $$a^2 \cdot (b^3)^{-1} = a^2 \cdot b^{-3}$$
- Apliquem la potència d'un producte al denominador: $$(a \cdot b)^{-2} = a^{-2} \cdot b^{-2}$$
- Dividim factor a factor:
- Per a $a$: $a^{2 - (-2)} = a^{2 + 2} = a^4$
- Per a $b$: $b^{-3 - (-2)} = b^{-3 + 2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$
8. Calcula
Gran operació combinada amb fraccions i exponents enters. Per resoldre-la de manera ordenada i sense errors, calculem per separat el Numerador ($N$) i el Denominador ($D$).
Enunciat $\frac{\left[\frac{(2/3)^{-2}}{(1/3)^{-1}} + 4^{-1}\right]^{-2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}}{\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} + 3^{-3}\right]^2 + 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}}$
Estratègia de resolució en tres fases:
Fase 1: Càlcul complet del Numerador ($N$)
L'expressió del numerador és:
$$N = \left[\frac{(2/3)^{-2}}{(1/3)^{-1}} + 4^{-1}\right]^{-2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \frac{7}{16}$$- Calculem les potències amb exponent negatiu de la fracció interior: $$(2/3)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$ $$(1/3)^{-1} = 3$$
- Dividim les dues quantitats: $$\frac{(2/3)^{-2}}{(1/3)^{-1}} = \frac{9/4}{3} = \frac{9}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4}$$
- Sumem el terme $4^{-1} = \frac{1}{4}$ dins del claudàtor: $$\left[\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right] = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
- Apliquem l'exponent $-2$ exterior al claudàtor: $$[1]^{-2} = \frac{1}{1^2} = 1$$
- Multipliquem pel factor $\left(\frac{3}{4}\right)^2$: $$1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{16}$$
- Sumem l'última fracció $\frac{7}{16}$: $$N = \frac{9}{16} + \frac{7}{16} = \frac{9 + 7}{16} = \frac{16}{16} = 1$$
El numerador complet es redueix exactament a $1$.
Fase 2: Càlcul complet del Denominador ($D$)
L'expressió del denominador és:
$$D = \left[\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} + 3^{-3}\right]^2 + 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}$$- Calculem les dues potències de dins del claudàtor: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$$ $$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$$
- Sumem les fraccions de dins del claudàtor: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{-3} + 3^{-3} = \frac{8}{27} + \frac{1}{27} = \frac{8 + 1}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$
- Elevem el resultat al quadrat: $$\left[\frac{1}{3}\right]^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$$
- Calculem el segon terme del denominador: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$ $$2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{9}$$
- Sumem els dos termes del denominador: $$D = \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = \frac{1 + 8}{9} = \frac{9}{9} = 1$$
El denominador complet es redueix exactament a $1$.
Fase 3: Quocient final
$$\frac{N}{D} = \frac{1}{1} = 1$$ Resultat final: $1$Formulari resum: propietats de les potències
Per consultar en qualsevol moment durant la resolució d'exercicis:
| Propietat | Expressió algebraica | Exemple concret |
|---|---|---|
| Producte de la mateixa base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $3^2 \cdot 3^4 = 3^6 = 729$ |
| Quocient de la mateixa base | $a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $5^7 : 5^4 = 5^3 = 125$ |
| Potència d'una potència | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ |
| Potència d'un producte | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1\,000$ |
| Potència d'un quocient | $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ | $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ |
| Exponent zero | $a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$ | $7^0 = 1;\ (-5)^0 = 1$ |
| Exponent negatiu | $a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \ne 0)$ | $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ |
| Fracció amb exponent negatiu | $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \quad (a, b \ne 0)$ | $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$ |
Precisions pedagògiques i signes
- Parèntesis i bases negatives: $(-2)^4 = +16$, ja que la base és $(-2)$ i l'exponent és parell. En canvi, $-2^4 = -16$, ja que el signe negatiu no queda afectat per l'exponent. A l'exercici 2c, 2e i 5b treballem amb bases entre parèntesis.
- Condició de base no nul·la: en totes les expressions amb exponents negatius o nuls ($a^{-n}$ o $a^0$), cal que la base sigui diferent de zero ($a \ne 0$), ja que la divisió per zero no està definida.
- Variables algebraiques: als exercicis 6 i 7 se sobreentén que les lletres representen valors reals no nuls ($x \ne 0$, $y \ne 0$, $z \ne 0$, $a \ne 0$, $b \ne 0$).