INS Pere Borrell · Curs 2026–2027 · Docent: Rubén Pineda · Aula A106
Sessió intensiva de 60 minuts per integrar tots els blocs de la Unitat 1 de 4t d'ESO Acadèmic: castells de fraccions, reducció de potències amb factorització prima, operacions amb radicals, identitats notables, racionalització i reptes combinats de nivell d'examen.
Quina diferència hi ha entre $(-3)^2$, $-3^2$ i $3^{-2}$? I per què $\sqrt{9 + 16}$ no és igual a $3 + 4 = 7$, sinó a $\sqrt{25} = 5$?
La ratlla de fracció principal actua com un parèntesi que separa el numerador $A$ i el denominador $B$:
$$\frac{A}{B} = A \div B$$Consell d'or: simplifica els factors comuns abans de multiplicar per mantenir nombres petits.
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
Mai no apliquis propietats amb bases compostes ($6, 9, 12, 15\dots$) sense factoritzar-les abans en nombres primers!
Simplifiquem l'expressió d'examen: $$\frac{6^3 \cdot 9^{-1} \cdot (-2)^4}{12^2 \cdot 3^{-2}}$$
Només es poden sumar o restar radicals amb el mateix índex i el mateix radicand:
$$\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$ $$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$$$$(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{ab} + b$$
$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$
La suma per diferència elimina les arrels quadrades de cop!
Simple: $\frac{A}{\sqrt{b}} = \frac{A\sqrt{b}}{b}$
Amb conjugat:
$$\frac{A}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{A(\sqrt{b} + \sqrt{c})}{b - c}$$Opera i simplifica: $$2\sqrt{50} - \sqrt{18} + \frac{12}{\sqrt{2}}$$
Controls de simulació per projectar i comparar transformacions pas a pas:
Resol aquests quatre exercicis a la llibreta escrivint tots els passos intermedis. Escriu les fraccions en format irreductible `a/b` (o com a enter si el denominador és $1$):
Opera i simplifica fins a la fracció irreductible:
$$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{7}{4} - \frac{1}{2}\right)$$
Resol primer la resta dins del parèntesi amb denominador comú $4$. Després simplifica el producte per $\frac{2}{3}$ abans de restar a $\frac{5}{6}$.
1. Parèntesi: $\frac{7}{4} - \frac{1}{2} = \frac{7 - 2}{4} = \mathbf{\frac{5}{4}}$.
2. Producte (simplificant el $2$ amb el $4$): $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$.
3. Resta final: $\frac{5}{6} - \frac{5}{6} = \mathbf{0}$.
Calcula i redueix a una sola fracció irreductible:
$$\frac{1 - \frac{1}{3}}{\frac{5}{6} - \frac{1}{2}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$$
Calcula per separat el numerador ($1 - \frac{1}{3}$) i el denominador ($\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$) del castell, divideix-los i suma-hi la fracció invertida $\frac{3}{2}$.
1. Numerador del castell: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
2. Denominador del castell: $\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
3. Divisió del castell: $\frac{2}{3} \div \frac{1}{3} = \mathbf{2}$.
4. Potència d'exponent negatiu: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$.
5. Suma final: $2 + \frac{3}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \mathbf{\frac{7}{2}}$.
Factoritza totes les bases en nombres primers i simplifica:
$$\frac{4^3 \cdot 15^2}{6^2 \cdot 10^2}$$
Substitueix $4 = 2^2$, $15 = 3 \cdot 5$, $6 = 2 \cdot 3$ i $10 = 2 \cdot 5$ abans d'aplicar les propietats dels exponents.
1. Factoritzem bases: $\frac{(2^2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(2 \cdot 3)^2 \cdot (2 \cdot 5)^2} = \frac{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2}$.
2. Agrupem el denominador: $\frac{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.
3. Simplifiquem: $2^{6-4} \cdot 3^{2-2} \cdot 5^{2-2} = 2^{\mathbf{2}} = \mathbf{4}$.
Extreu factors dels radicals i redueix l'expressió a la forma $k\sqrt{r}$:
$$3\sqrt{12} + \sqrt{75} - 2\sqrt{27}$$
Descompon $12 = 2^2 \cdot 3$, $75 = 5^2 \cdot 3$ i $27 = 3^2 \cdot 3$. Tots tres radicals quedaran en funció de $\sqrt{3}$.
1. Extraiem factors: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ i $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
2. Substituïm: $3(2\sqrt{3}) + 5\sqrt{3} - 2(3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$.
3. Operem coeficients: $(6 + 5 - 6)\sqrt{3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$ ($k = 5, r = 3$).
Aquests quatre exercicis reprodueixen la dificultat exacta de l'examen de 4t d'ESO Acadèmic. Resol-los individualment a la llibreta abans de comprovar el resultat:
Simplifica al màxim aplicant les propietats de les potències i determina el valor enter final:
$$\frac{(-3)^3 \cdot 18^2 \cdot 2^{-1}}{(-9)^2 \cdot (-3)}$$
Analitza primer el signe del numerador i del denominador per separat. Després factoritza $18 = 2 \cdot 3^2$ i $9 = 3^2$.
1. Signe: numerador $(-)$ i denominador $(+) \cdot (-) = (-)$, per tant $(-)\div(-) = (+)$.
2. Factoritzem mòduls: $\frac{3^3 \cdot (2 \cdot 3^2)^2 \cdot 2^{-1}}{(3^2)^2 \cdot 3^1} = \frac{3^3 \cdot 2^2 \cdot 3^4 \cdot 2^{-1}}{3^4 \cdot 3^1}$.
3. Agrupem: $\frac{2^{2-1} \cdot 3^7}{3^5} = 2^1 \cdot 3^{\mathbf{2}} = 2 \cdot 9 = \mathbf{18}$.
Desenvolupa les identitats notables i simplifica l'expressió:
$$\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{5} + 1\right)\left(\sqrt{5} - 1\right)$$
Recorda el doble producte central $\pm 2\sqrt{5}\sqrt{2} = \pm 2\sqrt{10}$ en els dos primers quadrats, i aplica diferència de quadrats en el tercer terme.
1. Primer quadrat: $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$.
2. Segon quadrat: $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$.
3. Suma dels dos quadrats: $(7 + 2\sqrt{10}) + (7 - 2\sqrt{10}) = \mathbf{14}$.
4. Suma per diferència: $(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
5. Resultat final: $14 - 4 = \mathbf{10}$.
Racionalitza cadascuna de les fraccions i redueix el resultat a la forma $k\sqrt{r}$:
$$\frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{2}}$$
Multiplica la primera fracció pel conjugat $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ i la segona per $\sqrt{2}$. Simplifica els coeficients enters abans de restar.
1. Primera fracció: $\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$.
2. Segona fracció: $\frac{4\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
3. Resta: $(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{5}}$ ($k = 2, r = 5$).
Resol l'operació combinada integrada i expressa el resultat com a fracció irreductible:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1} \cdot \frac{\sqrt{81}}{2} - \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$$
Dins de l'arrel fes primer la resta $\frac{25}{9} - \frac{9}{9} = \frac{16}{9}$. Després multiplica per $\frac{9}{2}$ i resol el castell de la dreta abans de fer el denominador comú $9$.
1. Potència negativa: $\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
2. Radical: $\sqrt{\frac{25}{9}-1} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \mathbf{\frac{4}{3}}$.
3. Producte central: $\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{36}{6} = 6$.
4. Castell: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
5. Operació final ($\operatorname{mcm}=9$): $\frac{4}{9} + 6 - \frac{2}{3} = \frac{4 + 54 - 6}{9} = \mathbf{\frac{52}{9}}$.
Explica quin és el procediment pas a pas per simplificar una fracció amb potències de bases compostes (com $6^3, 12^2, 18^{-1}$) i per racionalitzar $\frac{A}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$:
1) Determinar el signe global, descompondre cada base composta en factors primers ($2, 3, 5\dots$), aplicar potència de potència i agrupar exponents per bases iguals.
2) Multiplicar numerador i denominador pel conjugat $(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ per obtenir $b - c$ al denominador i simplificar.