Publicat el 13 d'octubre de 2026 · Història de la ciència i matemàtiques

Hiparc de Nicea i la resolució de triangles: l'origen de la trigonometria

Descobreix com les taules de cordes de l'astronomia grega es relacionen amb el sinus modern i aprèn a resoldre triangles amb els teoremes del sinus i del cosinus. La data indica la publicació del material; no commemora un esdeveniment d'Hiparc documentat en aquest dia.

La revolució de mesurar allò inaccessible

Cap a l'any 140 aC, Hiparc de Nicea (c. 190 aC – 120 aC) estudiava els moviments del Sol i de la Lluna, estimava distàncies astronòmiques a partir d'eclipsis i treballava en un catàleg estel·lar. La geometria li permetia relacionar angles observats amb distàncies inaccessibles.

A Hiparc se li atribueix la primera taula de cordes coneguda, però la taula original no es conserva. El pas de $7,5^\circ$ entre angles correspon a la reconstrucció de l'historiador G. J. Toomer, no a una taula conservada que puguem consultar directament. Segles després, Ptolemeu va incloure a l'Almagest una taula de cordes que sí que ens ha arribat.

La connexió entre la corda i la trigonometria moderna: Si dividim el triangle isòsceles format pel centre d'un cercle de radi $R$ i una corda per la meitat mitjançant l'apotema, obtenim dos triangles rectangles on el catet oposat a la meitat de l'angle central és precisament la meitat de la corda: $$\operatorname{crd}(\alpha) = 2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ Aquesta és una connexió geomètrica expressada amb notació moderna. Les taules de sinus es van desenvolupar en la tradició matemàtica índia; el terme jya va passar a l'àrab com jiba, interpretat després com jayb, i els traductors europeus el van traslladar al llatí com sinus. Els teoremes que fem servir avui són fruit d'una evolució de segles i no s'han d'atribuir directament a Hiparc.
Fonts contrastades:
  • J. J. O'Connor i E. F. Robertson, Hipparchus, MacTutor, Universitat de St Andrews. Última actualització: abril de 1999. Consulta: 13/10/2026.
  • Els mateixos autors, The trigonometric functions, MacTutor. Última actualització: juny de 1996. Consulta: 13/10/2026.

Referència antiga: Ptolemeu, Almagest, llibre I, c. 150 dC. El relat distingeix testimonis històrics i reconstruccions. Els valors del simulador i els exercicis són dades didàctiques, no mesures astronòmiques reals.

Simulador d'aula: de la corda al sinus modern

Introdueix un radi i un angle central. El dibuix mostra la corda i com l'apotema divideix el triangle isòsceles en dos triangles rectangles. Totes les longituds utilitzen la unitat que triïs.

Corda i dos triangles rectangles Introdueix els paràmetres per veure el cercle, els radis, la corda i l'apotema.
Dibuix pendent de paràmetres. El cercle es dibuixa a escala normalitzada; les longituds es mostren al resultat.
Explora en tres passos:
  1. Prova un angle de $60^\circ$: compara la corda amb el radi.
  2. Conserva l'angle i duplica el radi: prediu què passarà abans de calcular.
  3. Prova $180^\circ$: què passa amb la corda i amb els triangles?
Comprova les teves prediccions

A $60^\circ$, la corda és igual al radi. En duplicar el radi, la corda es duplica. A $180^\circ$, la corda és el diàmetre i els triangles són degenerats: l'apotema és nul·la.

Dossier de resolució de triangles: 15 exercicis resolts pas a pas

Aquesta fitxa de treball aplica els teoremes del sinus i del cosinus per determinar existència de triangles, calcular àrees, resoldre triangles complets i solucionar problemes geomètrics (piràmides, cordes, rombes, octògons i trapezis).

Fotografia de la primera pàgina de la fitxa de trigonometria (exercicis 1 a 9)
Pàgina 1 (Exercicis 1 a 9): Teoremes del sinus i del cosinus, existència, àrees i resolució de triangles.
🔍 Obrir fotografia original en gran
Fotografia de la segona pàgina de la fitxa de trigonometria (exercicis 10 a 15)
Pàgina 2 (Exercicis 10 a 15): Piràmide regular, corda central, rombes, octògon regular i trapezi isòsceles.
🔍 Obrir fotografia original en gran

Abans de començar: com trio el mètode?

Objectius: relacionar corda i sinus, identificar les dades d'un triangle i comprovar si una solució és possible. Proposta de treball: 10 minuts d'exploració, 5 minuts de guia i 30 minuts amb exercicis seleccionats; el dossier complet és material de consulta.

Els costats $a$, $b$ i $c$ són oposats, respectivament, als angles $A$, $B$ i $C$. Dibuixa el triangle i marca les dades abans de calcular.

  • Dos angles i un costat: troba el tercer angle amb $A+B+C=180^\circ$ i aplica el teorema del sinus.
  • Dos costats i l'angle comprès: aplica el cosinus per trobar el tercer costat; per a l'àrea, utilitza directament l'angle comprès.
  • Tres costats: comprova la desigualtat triangular i utilitza el cosinus per trobar els angles.
  • Dos costats i un angle no comprès: utilitza el sinus i comprova també l'angle suplementari. Poden existir cap, un o dos triangles.

Calculadora en mode DEG: treballem en graus. Conserva els decimals durant els càlculs i arrodoneix només el resultat final. Comprova unitats, suma d'angles i que al costat més llarg li correspongui l'angle més gran.

Fórmules clau utilitzades a la resolució:

  • Teorema del sinus: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ (on $R$ és el radi de la circumferència circumscrita).
  • Teorema del cosinus: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \implies \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
  • Àrea d'un triangle: $\text{Àrea} = \dfrac{1}{2}ab \sin C = \dfrac{1}{2}bc \sin A = \dfrac{1}{2}ac \sin B$.
  • Condició d'existència (Desigualtat triangular): La suma de dos costats qualsevol ha de ser estrictament més gran que el tercer costat ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$).

1 Existència de triangles

Digues si les dades següents es corresponen o no a un (o més d'un) triangle:

a) $a = 30\text{ m},\ b = 20\text{ m},\ c = 60\text{ cm}$

Pista abans de veure la solució

Unifica les unitats. Amb tres costats, comprova la desigualtat triangular; amb un angle no comprès, revisa les dues possibilitats del sinus.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
Pas 1: Homogeneïtzar unitats.
Convertim totes les magnituds a metres: $a = 30\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$, $c = 60\text{ cm} = 0,6\text{ m}$.
Pas 2: Comprovar la desigualtat triangular.
En qualsevol triangle, la suma dels dos costats més curts ha de superar el costat més llarg: $$b + c = 20\text{ m} + 0,6\text{ m} = 20,6\text{ m}$$ Com que $a = 30\text{ m} > 20,6\text{ m}$, els dos segments $b$ i $c$ no es poden tocar mai per tancar el triangle.
Nota addicional: Fins i tot si fos una errada d'impremta de la fitxa i volgués dir $c = 60\text{ m}$, tindríem $a + b = 30 + 20 = 50\text{ m} < 60\text{ m}$, per la qual cosa tampoc no existiria.
Conclusió: NO es correspon a cap triangle.

b) $b = 2\text{ m},\ c = 4\text{ m},\ B = 20^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
Pas 1: Aplicar el Teorema del Sinus per trobar l'angle $C$. $$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin B}{b} = \frac{4 \cdot \sin 20^\circ}{2} = 2 \cdot \sin 20^\circ$$ Com que $\sin 20^\circ \approx 0,34202$: $$\sin C \approx 2 \cdot 0,34202 = 0,68404$$
Pas 2: Analitzar el cas ambigu.
Com que $0 < 0,68404 < 1$, hi ha dos angles possibles entre $0^\circ$ i $180^\circ$:
  • Angle agut: $C_1 = \arcsin(0,68404) \approx 43,16^\circ$.
  • Angle obtús: $C_2 = 180^\circ - 43,16^\circ = 136,84^\circ$.
Comprovem si tots dos són vàlids sumant-los amb l'angle conegut $B = 20^\circ$:
  • Per a $C_1$: $B + C_1 = 20^\circ + 43,16^\circ = 63,16^\circ < 180^\circ \implies A_1 = 180^\circ - 63,16^\circ = 116,84^\circ$ (Vàlid).
  • Per a $C_2$: $B + C_2 = 20^\circ + 136,84^\circ = 156,84^\circ < 180^\circ \implies A_2 = 180^\circ - 156,84^\circ = 23,16^\circ$ (Vàlid).
Conclusió: Es correspon a DOS triangles possibles.

c) $b = 2\text{ m},\ c = 4\text{ m},\ B = 30^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat c)
Pas 1: Teorema del sinus per a l'angle $C$. $$\sin C = \frac{c \cdot \sin B}{b} = \frac{4 \cdot \sin 30^\circ}{2} = \frac{4 \cdot 0,5}{2} = 1$$
Pas 2: Deducció de l'angle.
L'únic angle amb $\sin C = 1$ en un triangle és $C = 90^\circ$.
Aleshores el tercer angle és $A = 180^\circ - (30^\circ + 90^\circ) = 60^\circ$. És un triangle rectangle únic.
Conclusió: Es correspon a UN únic triangle (triangle rectangle).

d) $b = 2\text{ m},\ c = 4\text{ m},\ B = 60^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat d)
Pas 1: Teorema del sinus per a l'angle $C$. $$\sin C = \frac{c \cdot \sin B}{b} = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1,732$$
Pas 2: Interpretació trigonomètrica i geomètrica.
Com que el sinus d'un angle real no pot superar mai $1$ ($\sin C \le 1$), és impossible.
Geomètricament, l'altura des del vèrtex $A$ és $h = c \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3,46\text{ m}$. Com que el costat $b = 2\text{ m}$ és més curt que l'altura ($b < h$), no arriba a tocar la base.
Conclusió: NO es correspon a cap triangle.

e) $a = 5\text{ m},\ b = 32\text{ m},\ c = 4\text{ m}$

Veure resolució pas a pas de l'apartat e)
Desigualtat triangular:
El costat més llarg és $b = 32\text{ m}$. La suma dels altres dos costats és: $$a + c = 5\text{ m} + 4\text{ m} = 9\text{ m}$$ Com que $32\text{ m} > 9\text{ m}$, el costat més llarg és molt superior a la suma dels altres dos.
Conclusió: NO es correspon a cap triangle.

f) $b = 60\text{ m},\ c = 90\text{ m},\ C = 30^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat f)
Pas 1: Teorema del sinus per trobar l'angle $B$. $$\sin B = \frac{b \cdot \sin C}{c} = \frac{60 \cdot \sin 30^\circ}{90} = \frac{60 \cdot 0,5}{90} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$
Pas 2: Anàlisi d'unicitat.
$\arcsin(1/3) \approx 19,47^\circ$. L'angle suplementari seria $180^\circ - 19,47^\circ = 160,53^\circ$.
Tanmateix, com que $c > b$ ($90\text{ m} > 60\text{ m}$), a costat més gran li correspon sempre angle més gran ($C > B$). Com que $C = 30^\circ$, l'angle $B$ ha de ser obligatòriament menor de $30^\circ$. Per tant, l'opció obtusa queda descartada ($160,53^\circ + 30^\circ > 180^\circ$).
Únic angle vàlid: $B \approx 19,47^\circ$, i el tercer angle és $A \approx 180^\circ - (30^\circ + 19,47^\circ) = 130,53^\circ$.
Conclusió: Es correspon a UN únic triangle.

2 Àrea amb dos costats i angle comprès

Calculeu l'àrea d'un triangle de costats $20\text{ cm}$ i $30\text{ cm}$ i l'angle comprès $30^\circ$.

Pista abans de veure la solució

Identifica els dos costats i l’angle comprès: no necessites resoldre tot el triangle per trobar l’àrea.

Veure resolució pas a pas
Fórmula de l'àrea trigonomètrica:
L'àrea d'un triangle a partir de dos costats $a$ i $b$ i l'angle comprès $\gamma$ és el semiproducte dels costats pel sinus de l'angle: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$
Substitució numèrica: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} \cdot 20\text{ cm} \cdot 30\text{ cm} \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 600 \cdot 0,5 = 150\text{ cm}^2$$
Resultat final: L'àrea és de $150\text{ cm}^2$ (equivalent a $0,015\text{ m}^2$).

3 Resolució bàsica de triangles

Resoleu el triangle amb les dades següents:

a) $a = 6,\ B = 45^\circ,\ A = 75^\circ$

Pista abans de veure la solució

Troba primer el tercer angle i identifica quin costat és oposat a l’angle conegut.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
1. Càlcul del tercer angle $C$: $$C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. Costat $b$ mitjançant Teorema del Sinus: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}$$ Com que $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,7071$ i $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0,9659$: $$b = \frac{6 \cdot 0,70711}{0,96593} \approx 4,392 \quad \left[\text{Valor exacte: } 6(\sqrt{3}-1)\right]$$
3. Costat $c$ mitjançant Teorema del Sinus: $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{6 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{6 \cdot 0,86603}{0,96593} \approx 5,379 \quad \left[\text{Valor exacte: } 3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})\right]$$
Resultats: $C = 60^\circ$, $b \approx 4,39$, $c \approx 5,38$.

b) $A = 90^\circ,\ B = 30^\circ,\ a = 6$

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
Triangle rectangle amb hipotenusa $a = 6$:
  • Angle $C$: $C = 90^\circ - B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
  • Catet $b$: $b = a \cdot \sin B = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0,5 = 3$.
  • Catet $c$: $c = a \cdot \cos B = 6 \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5,20$.
Resultats: $C = 60^\circ$, $b = 3$, $c = 3\sqrt{3} \approx 5,20$.

4 Resolució de triangles complets

Resoleu el triangle amb les dades següents:

a) $a = 20\text{ m},\ B = 45^\circ,\ C = 65^\circ$

Pista abans de veure la solució

Als apartats amb dos angles, comença per la suma d’angles. Amb dos costats i l’angle comprès, comença pel cosinus.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
1. Angle $A$: $A = 180^\circ - (45^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. Costat $b$: $$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{20 \cdot 0,70711}{0,93969} \approx 15,05\text{ m}$$
3. Costat $c$: $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{20 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{20 \cdot 0,90631}{0,93969} \approx 19,29\text{ m}$$
Resultats: $A = 70^\circ$, $b \approx 15,05\text{ m}$, $c \approx 19,29\text{ m}$.

b) $c = 6\text{ m},\ A = 105^\circ,\ B = 35^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
1. Angle $C$: $C = 180^\circ - (105^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
2. Costat $a$: $$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{6 \cdot 0,96593}{0,64279} \approx 9,02\text{ m}$$
3. Costat $b$: $$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{6 \cdot 0,57358}{0,64279} \approx 5,35\text{ m}$$
Resultats: $C = 40^\circ$, $a \approx 9,02\text{ m}$, $b \approx 5,35\text{ m}$.

c) $b = 40\text{ m},\ c = 30\text{ m},\ A = 60^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat c)
1. Costat $a$ amb Teorema del Cosinus: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 40^2 + 30^2 - 2 \cdot 40 \cdot 30 \cdot \cos 60^\circ$$ $$a^2 = 1600 + 900 - 2400 \cdot 0,5 = 2500 - 1200 = 1300$$ $$a = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \approx 36,06\text{ m}$$
2. Angle $B$ amb Teorema del Cosinus (evita ambigüitat de signes): $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1300 + 900 - 1600}{2 \cdot 10\sqrt{13} \cdot 30} = \frac{600}{600\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0,27735$$ $$B = \arccos(0,27735) \approx 73,90^\circ$$
3. Angle $C$: $$C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - (60^\circ + 73,90^\circ) = 46,10^\circ$$
Resultats: $a \approx 36,06\text{ m}$, $B \approx 73,90^\circ$, $C \approx 46,10^\circ$.

5 Càlcul de dades que falten i àrees

Calculeu les dades restants i l'àrea de cadascun dels triangles:

a) $A = 75^\circ,\ B = 35^\circ,\ a = 30\text{ m}$

Pista abans de veure la solució

Resol primer els angles i els costats que falten; escull dos costats i el seu angle comprès per calcular l’àrea.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
1. Angle $C$: $C = 180^\circ - (75^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2. Costats $b$ i $c$ (Teorema del Sinus): $$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{30 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{30 \cdot 0,57358}{0,96593} \approx 17,81\text{ m}$$ $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{30 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{30 \cdot 0,93969}{0,96593} \approx 29,19\text{ m}$$
3. Àrea del triangle: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{30\sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \cdot \sin 70^\circ \approx 251,10\text{ m}^2$$
Resultats: $C = 70^\circ$, $b \approx 17,81\text{ m}$, $c \approx 29,19\text{ m}$, $\text{Àrea} \approx 251,1\text{ m}^2$.

b) $A = 100^\circ,\ B = 30^\circ,\ b = 20\text{ m}$

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
1. Angle $C$: $C = 180^\circ - (100^\circ + 30^\circ) = 50^\circ$.
2. Costats $a$ i $c$ (Teorema del Sinus): $$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 100^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{20 \cdot 0,98481}{0,5} \approx 39,39\text{ m}$$ $$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{20 \cdot 0,76604}{0,5} \approx 30,64\text{ m}$$
3. Àrea del triangle: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot 39,39 \cdot 20 \cdot \sin 50^\circ \approx 393,9 \cdot 0,76604 \approx 301,76\text{ m}^2$$
Resultats: $C = 50^\circ$, $a \approx 39,39\text{ m}$, $c \approx 30,64\text{ m}$, $\text{Àrea} \approx 301,8\text{ m}^2$.

6 Resolució de triangles

Resoleu el triangle amb les dades següents:

a) $a = 10\text{ cm},\ B = 45^\circ,\ C = 75^\circ$

Pista abans de veure la solució

Troba primer l’angle que falta i després utilitza la correspondència entre costats i angles oposats.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
1. Angle $A$: $A = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 60^\circ$.
2. Costats $b$ i $c$: $$b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8,16\text{ cm}$$ $$c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{10 \cdot 0,96593}{0,86603} \approx 11,15\text{ cm}$$
Resultats: $A = 60^\circ$, $b \approx 8,16\text{ cm}$, $c \approx 11,15\text{ cm}$.

b) $b = 4\text{ m},\ A = 15^\circ,\ B = 30^\circ$

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
1. Angle $C$: $C = 180^\circ - (15^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
2. Costats $a$ i $c$: $$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{4 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot 0,25882}{0,5} = 8 \cdot \sin 15^\circ = 2(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \approx 2,07\text{ m}$$ $$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{4 \cdot \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{0,5} = 4\sqrt{2} \approx 5,66\text{ m}$$
Resultats: $C = 135^\circ$, $a \approx 2,07\text{ m}$, $c = 4\sqrt{2} \approx 5,66\text{ m}$.

7 Resolució i àrea d'un triangle

Resoleu el triangle amb les dades següents: $A = 60^\circ,\ B = 45^\circ$ i $b = 20\text{ m}$. Calculeu la seva àrea.

Pista abans de veure la solució

El costat conegut és oposat a l’angle indicat amb la mateixa lletra. Conserva els valors exactes fins al final.

Veure resolució pas a pas
1. Angle $C$: $$C = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$$
2. Costats $a$ i $c$: $$a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 20 \sqrt{\frac{3}{2}} = 10\sqrt{6} \approx 24,49\text{ m}$$ $$c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{20 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10(\sqrt{3}+1) \approx 27,32\text{ m}$$
3. Àrea del triangle: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{6} \cdot 20 \cdot \sin 75^\circ = 100\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 150 + 50\sqrt{3} \approx 236,60\text{ m}^2$$
Resultats: $C = 75^\circ$, $a \approx 24,49\text{ m}$, $c \approx 27,32\text{ m}$, $\text{Àrea} \approx 236,6\text{ m}^2$.

8 Teorema del cosinus i càlcul d'àrea

Resoleu el triangle amb les dades següents: $A = 30^\circ,\ b = 3\text{ m},\ c = 4\text{ m}$. Calculeu la seva àrea.

Pista abans de veure la solució

Comença pel cosinus: l’angle conegut és comprès entre els dos costats. Per a l’àrea ja tens totes les dades.

Veure resolució pas a pas
1. Costat $a$ (Teorema del cosinus): $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ = 25 - 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 12\sqrt{3}$$ $$a^2 \approx 25 - 20,7846 = 4,2154 \implies a = \sqrt{4,2154} \approx 2,053\text{ m}$$
2. Angle $B$ (Teorema del cosinus): $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4,2154 + 16 - 9}{2 \cdot 2,053 \cdot 4} = \frac{11,2154}{16,424} \approx 0,68286 \implies B \approx 46,94^\circ$$
3. Angle $C$: $$C = 180^\circ - (30^\circ + 46,94^\circ) = 103,06^\circ$$
4. Àrea del triangle: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0,5 = 3\text{ m}^2$$
Resultats: $a \approx 2,05\text{ m}$, $B \approx 46,94^\circ$, $C \approx 103,06^\circ$, $\text{Àrea} = 3\text{ m}^2$.

9 Costats d'un paral·lelogram

Calculeu els costats d'un paral·lelogram en què les seves diagonals mesuren $20\text{ cm}$ i $16\text{ cm}$ respectivament i formen entre si un angle de $37^\circ$.

Pista abans de veure la solució

Les diagonals es tallen pels punts mitjans: treballa amb les semidiagonals i els dos angles suplementaris.

Veure resolució pas a pas
Propietat clau del paral·lelogram:
Les diagonals es tallen mútuament en el seu punt mitjà. Així, les meitats de les diagonals mesuren: $$d_1' = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}, \quad d_2' = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$$ Aquestes dues semidiagonals formen dos angles adjacents que sumen $180^\circ$: $$\theta_1 = 37^\circ, \quad \theta_2 = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$$
1. Costat menor $x$ (oposat a l'angle agut de $37^\circ$): $$x^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 37^\circ = 100 + 64 - 160 \cdot 0,79864$$ $$x^2 = 164 - 127,78 = 36,22 \implies x = \sqrt{36,22} \approx 6,02\text{ cm}$$
2. Costat major $y$ (oposat a l'angle obtús de $143^\circ$): $$y^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos 143^\circ = 164 - 160 \cdot (-\cos 37^\circ)$$ $$y^2 = 164 + 127,78 = 291,78 \implies y = \sqrt{291,78} \approx 17,08\text{ cm}$$
Comprovació (Llei del paral·lelogram): $$2(x^2 + y^2) = 2(36,22 + 291,78) = 2 \cdot 328 = 656 = 20^2 + 16^2 \quad \text{(Identitat comprovada amb valors arrodonits)}$$ Resultat final: Els costats del paral·lelogram mesuren aproximadament $6,02\text{ cm}$ i $17,08\text{ cm}$.

10 Geometria 3D: Piràmide de base quadrada

En una piràmide regular de base quadrada (amb el vèrtex sobre el centre de la base), el costat de la base mesura $200\text{ m}$ i l'angle $\alpha$ que forma una cara lateral amb la base és de $60^\circ$. Calculeu:

a) L'altura de la piràmide ($H$)

Pista abans de veure la solució

Dibuixa dues seccions: una fins al punt mitjà d’un costat de la base i una altra fins a un vèrtex. Els catets horitzontals són diferents.

Veure resolució pas a pas de l'apartat a)
L'apotema de la base és la distància del centre al punt mitjà d'un costat: $a_b = \frac{200}{2} = 100\text{ m}$.
El triangle rectangle format per l'apotema de la base, l'altura i l'apotema lateral té angle de $60^\circ$: $$\tan 60^\circ = \frac{H}{a_b} \implies H = a_b \cdot \tan 60^\circ = 100 \cdot \sqrt{3} \approx 173,21\text{ m}$$ Resultat: L'altura és de $100\sqrt{3} \approx 173,21\text{ m}$.

b) L'altura d'una cara ($h_c$, apotema lateral)

Veure resolució pas a pas de l'apartat b)
És la hipotenusa del mateix triangle rectangle: $$\cos 60^\circ = \frac{a_b}{h_c} \implies h_c = \frac{a_b}{\cos 60^\circ} = \frac{100}{0,5} = 200\text{ m}$$ Comprovació per Pitàgores: $h_c = \sqrt{H^2 + a_b^2} = \sqrt{(100\sqrt{3})^2 + 100^2} = \sqrt{30000 + 10000} = 200\text{ m}$.
Resultat: L'altura d'una cara és de $200\text{ m}$.

c) La diagonal de la base ($D$)

Veure resolució pas a pas de l'apartat c)
La base és un quadrat de costat $L = 200\text{ m}$. La seva diagonal és: $$D = L\sqrt{2} = 200\sqrt{2} \approx 282,84\text{ m}$$ Resultat: La diagonal de la base mesura $200\sqrt{2} \approx 282,84\text{ m}$.

d) L'angle que forma l'aresta amb la base ($\beta$)

Veure resolució pas a pas de l'apartat d)
L'aresta arriba a un vèrtex de la base. La distància del centre de la base al vèrtex és la meitat de la diagonal: $$d_b = \frac{D}{2} = 100\sqrt{2}\text{ m}$$ El triangle rectangle té catet vertical $H = 100\sqrt{3}$ i catet horitzontal $d_b = 100\sqrt{2}$: $$\tan \beta = \frac{H}{d_b} = \frac{100\sqrt{3}}{100\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5} \approx 1,22474$$ $$\beta = \arctan(1,22474) \approx 50,77^\circ \quad (50^\circ 46')$$ Resultat: L'angle amb la base és d'aproximadament $50,77^\circ$.

e) Longitud de l'aresta lateral ($A$)

Veure resolució pas a pas de l'apartat e)
Apliquem el Teorema de Pitàgores al triangle que conté l'aresta: $$A = \sqrt{H^2 + d_b^2} = \sqrt{(100\sqrt{3})^2 + (100\sqrt{2})^2} = \sqrt{30000 + 20000} = \sqrt{50000} = 100\sqrt{5} \approx 223,61\text{ m}$$ Comprovació alternativa des de la cara lateral: $A = \sqrt{h_c^2 + (L/2)^2} = \sqrt{200^2 + 100^2} = \sqrt{50000} = 100\sqrt{5}\text{ m}$.
Resultat: L'aresta lateral fa $100\sqrt{5} \approx 223,61\text{ m}$.

11 Corda d'un cercle i angle central

En una circumferència de $6\text{ cm}$ de radi, es traça una corda de $9\text{ cm}$ de longitud. Calculeu l'angle central que determina la corda.

Pista abans de veure la solució

Divideix la corda i l’angle central en dues meitats; apareix un triangle rectangle.

Veure resolució pas a pas
Connexió directa amb la Taula de Cordes d'Hiparc:
El triangle format pel centre $O$ i els dos extrems de la corda és isòsceles, amb dos costats iguals al radi $R = 6\text{ cm}$ i la base igual a la corda $c = 9\text{ cm}$.
Mètode 1: Divisió en dos triangles rectangles (Definició del sinus)
Si tracem l'apotema des del centre a la corda, la divideix en dues meitats de $4,5\text{ cm}$ i l'angle central $\alpha$ en dues meitats $\alpha/2$: $$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{meitat de la corda}}{R} = \frac{4,5}{6} = 0,75$$ $$\frac{\alpha}{2} = \arcsin(0,75) \approx 48,59^\circ \implies \alpha = 2 \cdot 48,59^\circ \approx 97,18^\circ \quad (97^\circ 11')$$
Mètode 2: Teorema del Cosinus directe
$$c^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos \alpha \implies 9^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 36 \cos \alpha$$ $$81 = 72 - 72 \cos \alpha \implies 72 \cos \alpha = 72 - 81 = -9 \implies \cos \alpha = -\frac{9}{72} = -0,125$$ $$\alpha = \arccos(-0,125) \approx 97,18^\circ$$ Resultat final: L'angle central és d'aproximadament $97,18^\circ$.

12 Angles d'un rombe donats el costat i una diagonal

Calculeu els angles d'un rombe de $5\text{ m}$ de costat i una diagonal de $8\text{ m}$.

Pista abans de veure la solució

Les diagonals es bisecten i són perpendiculars. Busca primer la meitat de la diagonal desconeguda.

Veure resolució pas a pas
Propietats del rombe:
Les dues diagonals són perpendiculars i es divideixen pel punt mitjà, formant 4 triangles rectangles idèntics.
  • Hipotenusa: costat $L = 5\text{ m}$.
  • Un catet: meitat de la diagonal coneguda $\frac{8}{2} = 4\text{ m}$.
  • Segon catet (meitat de l'altra diagonal): $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\text{ m}$.
Càlcul dels angles:
Sigui $\alpha_1$ l'angle oposat a la diagonal de $8\text{ m}$ i $\alpha_2$ l'oposat a la de $6\text{ m}$: $$\sin\left(\frac{\alpha_1}{2}\right) = \frac{4}{5} = 0,8 \implies \frac{\alpha_1}{2} \approx 53,13^\circ \implies \alpha_1 \approx 106,26^\circ$$ $$\sin\left(\frac{\alpha_2}{2}\right) = \frac{3}{5} = 0,6 \implies \frac{\alpha_2}{2} \approx 36,87^\circ \implies \alpha_2 \approx 73,74^\circ$$ Comprovació: $106,26^\circ + 73,74^\circ = 180^\circ$.
Resultat final: Els dos angles obtusos mesuren $106,26^\circ$ i els dos angles aguts mesuren $73,74^\circ$.

13 Angles i àrea d'un rombe donades les diagonals

Calculeu els angles i l'àrea d'un rombe de diagonals $16\text{ m}$ i $12\text{ m}$ respectivament.

Pista abans de veure la solució

L’àrea es calcula directament amb les diagonals. Per als angles, utilitza les meitats de les diagonals.

Veure resolució pas a pas
1. Àrea del rombe: $$\text{Àrea} = \frac{D \cdot d}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96\text{ m}^2$$
2. Longitud del costat ($L$):
Les meitats de les diagonals mesuren $\frac{16}{2} = 8\text{ m}$ i $\frac{12}{2} = 6\text{ m}$. $$L = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\text{ m}$$
3. Càlcul dels angles: $$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1,3333 \implies \frac{\alpha}{2} \approx 53,13^\circ \implies \alpha \approx 106,26^\circ$$ $$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 106,26^\circ = 73,74^\circ$$ Resultat final: L'àrea és de $96\text{ m}^2$, els dos angles obtusos mesuren $106,26^\circ$ i els dos aguts $73,74^\circ$.

14 Radis inscrits i circumscrits a un octògon regular

Calculeu els radis de les circumferències inscrita i circumscrita a un octògon regular de $6\text{ m}$ de costat.

Pista abans de veure la solució

Uneix el centre amb dos vèrtexs consecutius i divideix el triangle isòsceles per la meitat.

Veure resolució pas a pas
Geometria de l'octògon regular ($n = 8$ costats):
L'angle central d'un octògon regular és $\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Si unim el centre amb els vèrtexs d'un costat de $6\text{ m}$ i tracem l'apotema, obtenim un triangle rectangle amb:
  • Angle superior: $\frac{\theta}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$.
  • Catet oposat (meitat del costat): $\frac{L}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ m}$.
  • Catet contigu: radi de la circumferència inscrita ($r$, apotema de l'octògon).
  • Hipotenusa: radi de la circumferència circumscrita ($R$, distància del centre al vèrtex).
1. Radi de la circumferència inscrita ($r$): $$\tan(22,5^\circ) = \frac{L/2}{r} = \frac{3}{r} \implies r = \frac{3}{\tan(22,5^\circ)}$$ Com que $\tan(22,5^\circ) = \sqrt{2} - 1 \approx 0,41421$: $$r = \frac{3}{\sqrt{2}-1} = 3(\sqrt{2}+1) \approx 7,24\text{ m}$$
2. Radi de la circumferència circumscrita ($R$): $$\sin(22,5^\circ) = \frac{L/2}{R} = \frac{3}{R} \implies R = \frac{3}{\sin(22,5^\circ)}$$ Com que $\sin(22,5^\circ) \approx 0,38268$: $$R = \frac{3}{0,38268} \approx 7,84\text{ m}$$ Comprovació per Pitàgores: $R = \sqrt{r^2 + 3^2} = \sqrt{7,2426^2 + 9} = \sqrt{52,455 + 9} = \sqrt{61,455} \approx 7,84\text{ m}$.
Resultats:
  • Radi de la circumferència inscrita: $r \approx 7,24\text{ m}$ (exacte: $3\sqrt{2}+3\text{ m}$).
  • Radi de la circumferència circumscrita: $R \approx 7,84\text{ m}$.

15 Angles d'un trapezi isòsceles

Calculeu els angles d'un trapezi isòsceles d'altura $30\text{ m}$ i de bases $60\text{ m}$ i $30\text{ m}$ respectivament.

Pista abans de veure la solució

Traça les altures des de la base menor. El sobrant de la base major es reparteix en dos segments iguals.

Veure resolució pas a pas
Descomposició geomètrica:
En traçar les altures des dels dos vèrtexs de la base menor ($b = 30\text{ m}$) sobre la base major ($B = 60\text{ m}$), aquesta queda dividida en tres segments: un segment central igual a $30\text{ m}$ i dos segments laterals idèntics $x$: $$x = \frac{B - b}{2} = \frac{60 - 30}{2} = \frac{30}{2} = 15\text{ m}$$
1. Angles adjacents a la base major ($\alpha$):
A cadascun dels extrems tenim un triangle rectangle de catets $15\text{ m}$ (horitzontal) i $30\text{ m}$ (vertical): $$\tan \alpha = \frac{\text{altura}}{x} = \frac{30}{15} = 2$$ $$\alpha = \arctan(2) \approx 63,43^\circ \quad (63^\circ 26')$$
2. Angles adjacents a la base menor ($\beta$):
Com que les bases són paral·leles, els angles adjacents al mateix costat oblic són suplementaris: $$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 63,43^\circ = 116,57^\circ \quad (116^\circ 34')$$ Comprovació: La suma dels 4 angles del quadrilàter és $2 \cdot 63,43^\circ + 2 \cdot 116,57^\circ = 126,86^\circ + 233,14^\circ = 360^\circ$.
Resultat final: Els dos angles de la base major mesuren $63,43^\circ$ cadascun, i els dos angles de la base menor mesuren $116,57^\circ$ cadascun.