Model de Prova de Grau Mitjà: Competència Matemàtica
El títol de FP Bàsica us dona accés directe als Cicles Formatius de Grau Mitjà (CFGM) —com Sistemes Microinformàtics i Xarxes (SMX), Mecànica o Administració—, però per tenir èxit en els mòduls tècnics cal dominar amb seguretat la competència matemàtica clau.
Aquesta sessió reprodueix el model oficial d'examen de competència matemàtica de les proves d'accés a grau mitjà (Sèrie 1). Consta de 7 exercicis pràctics sumant un total de 10 punts. Teniu càlculs interactius, verificació immediata, visuals de suport i les solucions oficials amb els criteris de correcció desglossats.
📋 Instruccions i material de la prova
10,0 PUNTS TOTALSMaterial permès: material d'ús habitual (bolígraf, regle, escaire, semicercle graduat, llapis) i calculadora científica. En cap cas no és permesa la cessió de calculadores ni de material entre aspirants.
Estructura del temps recomanat (55 minuts):
- 0–5 min: Lectura ràpida dels 7 enunciats i estratègia per començar pels més clars.
- 5–40 min: Resolució individual dels 7 reptes utilitzant la calculadora i comprovant cada pas.
- 40–50 min: Verificació de resultats, comprovació d'unitats ($\text{kg}$, $€$, $\text{m}$, $\text{m}^2$, $\%$) i decimals.
- 50–55 min: Contrast amb el solucionari oficial i registre de puntuació.
Exercici 1 · Càrrega de verdures i hortalisses
1,5 PUNTSUn camió de mercaderies porta una càrrega de verdures i hortalisses. Una tercera part ($\frac{1}{3}$) de la càrrega són albergínies, dues cinquenes parts ($\frac{2}{5}$) són carbassons i la resta, pastanagues.
a) Quina part del total correspon conjuntament a les albergínies i als carbassons? [0,5 punts]
Calculeu la suma de les dues fraccions: $\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$.
b) Si la càrrega total és de 3.600 kg, quants quilos porta de carbassons? I d’albergínies? [0,5 punts]
c) Quina part del total correspon a les pastanagues? Quants quilos són? [0,5 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 1
a) $\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5 + 6}{15} = \mathbf{\frac{11}{15}}$ de la càrrega.
b) Albergínies: $\frac{1}{3} \cdot 3.600 = \frac{3.600}{3} = \mathbf{1.200\text{ kg}}$.
Carbassons: $\frac{2}{5} \cdot 3.600 = \frac{2 \cdot 3.600}{5} = \frac{7.200}{5} = \mathbf{1.440\text{ kg}}$.
c) Fracció restant: $1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \mathbf{\frac{4}{15}}$.
Pes de pastanagues: $3.600 - 1.200 - 1.440 = \mathbf{960\text{ kg}}$ (o també $\frac{4}{15} \cdot 3.600 = 960\text{ kg}$).
Exercici 2 · Rendiment del fons d'inversió
1,0 PUNTUna persona inverteix en un fons d’inversió una quantitat inicial de $80.000\text{ €}$. El primer any el fons obté uns beneficis d’un $5\,\%$, i aquests beneficis s’afegeixen a la quantitat inicial ingressada. El segon any, en canvi, el fons registra unes pèrdues també d’un $5\,\%$.
a) Calculeu els beneficis obtinguts el primer any d’inversió i el capital final després d'aquest any. [0,5 punts]
b) Calculeu les pèrdues del segon any d’inversió. Globalment, en aquests dos anys, hi ha guanyat diners o n’ha perdut? Quants? [0,5 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 2
a) $5\,\%\text{ de } 80.000 = 0{,}05 \cdot 80.000 = \mathbf{4.000\text{ €}}$ de beneficis.
Capital final després del 1r any: $80.000 + 4.000 = \mathbf{84.000\text{ €}}$.
b) Pèrdues del 2n any: $5\,\%\text{ de } 84.000 = 0{,}05 \cdot 84.000 = \mathbf{4.200\text{ €}}$.
Capital final després de dos anys: $84.000 - 4.200 = 79.800\text{ €}$.
Balanç global: $80.000 - 79.800 = \mathbf{200\text{ €}}$. Per tant, ha perdut 200 €.
Nota pedagògica: Pujar un $5\,\%$ i després baixar un $5\,\%$ no deixa la quantitat igual perquè el segon percentatge s'aplica sobre una base més gran ($84.000\text{ €}$).
Exercici 3 · Il·luminació de les arcades d'un pont
1,5 PUNTSEs volen il·luminar les arcades d’un pont i la barana, representades en la figura, amb una línia de llums de colors. Si les arcades tenen forma de mitja circumferència o de quart de circumferència les dels extrems i l’alçada del pont és de $6\text{ m}$ (radi $r = 6\text{ m}$), quants metres de línia de llum es necessitaran? Arrodoniu el resultat a les centèsimes.
Composició d'arcades: 3 mitges circumferències + 2 quarts de circumferència = 2 circumferències completes ($L = 2 \cdot 2\pi r$).
Càlcul de la longitud total de la línia de llums
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 3
Arcades: 3 mitges circumferències + 2 quarts de circumferència = 2 circumferències completes.
$$L_{\text{arcades}} = 2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 6 = 24 \cdot \pi\text{ m} \approx \mathbf{75{,}40\text{ m}} \quad \text{[0,75 punts]}$$
Barana: $2 \cdot 6 + 3 \cdot 12 = 12 + 36 = \mathbf{48\text{ m}} \quad \text{[0,5 punts]}$
Total de línia de llums: $75{,}40 + 48 = \mathbf{123{,}40\text{ m}} \quad \text{[0,25 punts]}$
Exercici 4 · Escales i mides de plànols
1,5 PUNTSEn el plànol d’un pis es vol dibuixar un sofà que mesura $4{,}5\text{ m}$ de llargada per $93\text{ cm}$ d’amplada.
a) Si l’escala del plànol és d’1:150, quines mides haurà de tenir el sofà en el plànol? Doneu les mides en centímetres. [0,75 punts]
b) En el mateix plànol el menjador rectangular mesura 4 cm de llarg per 3 cm d’ample. Quant mesura en la realitat? Quina és la superfície del menjador? Doneu les mides en metres i la superfície en metres quadrats. [0,75 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 4
a) $4{,}5\text{ m} = 450\text{ cm}$.
Llargada en el plànol: $450 : 150 = \mathbf{3\text{ cm}}$.
Amplada en el plànol: $93 : 150 = \mathbf{0{,}62\text{ cm}}$.
b) Mides reals en centímetres i conversió a metres:
Llargada: $4 \cdot 150 = 600\text{ cm} = \mathbf{6\text{ m}}$.
Amplada: $3 \cdot 150 = 450\text{ cm} = \mathbf{4{,}5\text{ m}} \quad \text{[0,5 punts per les dues mides]}$.
Superfície del menjador: $S = 6 \cdot 4{,}5 = \mathbf{27\text{ m}^2} \quad \text{[0,25 punts]}$.
Exercici 5 · Equació de costos de mobiliari escolar
1,5 PUNTSEn una escola han comprat 15 taules i 20 cadires. Si una taula val $12\text{ €}$ més que una cadira, i el preu total de la compra ha estat de $1.055\text{ €}$, quin és el preu d’una taula i el preu d’una cadira?
Plantejament i resolució de l'equació de primer grau
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 5
Plantejament algebraic [0,75 punts]:
Preu d’una cadira = $x$
Preu d’una taula = $x + 12$
$$20x + 15(x + 12) = 1.055$$
Resolució [0,75 punts]:
$$20x + 15x + 180 = 1.055 \implies 35x = 1.055 - 180 \implies 35x = 875$$
$$x = \frac{875}{35} = \mathbf{25\text{ €}}$$
Preu d'una cadira = $\mathbf{25\text{ €}}$
Preu d'una taula = $25 + 12 = \mathbf{37\text{ €}}$
Exercici 6 · Rampes de bicicletes, funcions i Pitàgores
1,5 PUNTSEn un circuit de bicicletes hi ha dues rampes consecutives, d’esquerra a dreta: la primera de baixada i la segona de pujada. Una rampa correspon a la funció $y = \frac{1}{3}x - 2$ i l’altra a $y = -\frac{1}{2}x + 2$.
a) Quina funció correspon a la rampa de baixada i quina a la de pujada? Quin és el seu pendent ($m$)? [0,5 punts]
b) A quina alçada exacta arriba la rampa de pujada al seu final ($x = 10\text{ m}$)? [0,5 punts]
c) Aplicant el teorema de Pitàgores, calculeu quina és la longitud de la rampa de baixada ($L = \sqrt{a^2 + b^2}$). [0,5 punts]
La rampa va des de $(0, 2)$ fins a $(4, 0)$: alçada vertical de $2\text{ m}$ i base horitzontal de $4\text{ m}$.
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 6
a)
La rampa de baixada correspon a la funció $\mathbf{y = -\frac{1}{2}x + 2}$ amb pendent $\mathbf{m = -\frac{1}{2}}$ (negatiu, recta decreixent).
La rampa de pujada correspon a la funció $\mathbf{y = \frac{1}{3}x - 2}$ amb pendent $\mathbf{m = \frac{1}{3}}$ (positiu, recta creixent).
b) Alçada a $x = 10\text{ m}$:
$$y = \frac{1}{3}\cdot 10 - 2 = \frac{10}{3} - 2 = \frac{10 - 6}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}\text{ m} \cong 1{,}33\text{ m}}$$
c) Teorema de Pitàgores amb catets de $2\text{ m}$ i $4\text{ m}$:
$$L = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \cong \mathbf{4{,}47\text{ m}}$$
Exercici 7 · Balanç econòmic decennal i estadística
1,5 PUNTSLa taula següent representa, en milions d’euros, els beneficis i les pèrdues d’una empresa en els darrers deu anys:
| Any | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 | 2025 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Beneficis (M€) | 3,5 | 2,0 | 7,0 | 6,0 | — | 4,1 | 2,0 | 5,0 | — | 2,4 |
| Pèrdues (M€) | — | — | — | — | -3,0 | — | — | — | -1,0 | — |
a) Representeu les dades mitjançant un diagrama de barres. [0,75 punts]
Activeu la visualització interactiva per generar el diagrama de barres amb l'eix de zero i els valors positius/negatius:
b) Calculeu la mitjana de beneficis o de pèrdues de l’empresa en els darrers deu anys. [0,75 punts]
Recordeu: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$. Els anys de pèrdua resten a la suma total.
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 7
a) Diagrama de barres [0,75 punts]:
Les barres positives van cap amunt (fins a un màxim de 7 M€ el 2018) i les barres de pèrdues van cap avall per sota de la línia de zero (-3 M€ el 2020 i -1 M€ el 2024).
b) Càlcul de la mitjana aritmètica [0,75 punts]:
$$\bar{x} = \frac{3{,}5 + 2 + 7 + 6 - 3 + 4{,}1 + 2 + 5 - 1 + 2{,}4}{10} = \frac{28}{10} = \mathbf{2{,}8\text{ milions d'euros}}$$
🎯 Tancament i preparació per a Grau Mitjà
CRITERIS GENERALSCom valoreu el vostre resultat?
- De 8,5 a 10 punts: Nivell excel·lent. Teniu consolidada la competència matemàtica per afrontar amb facilitat qualsevol cicle de grau mitjà.
- De 6,5 a 8,4 punts: Bon nivell de base. Cal repassar alguns detalls d'arredoniment o la precisió en equacions algebraiques.
- De 5,0 a 6,4 punts: Assoliment bàsic. Convé reforçar les operacions amb fraccions heterogènies i la interpretació de pendents lineals.
- Menys de 5,0 punts: Cal recuperar conceptes clau d'aritmètica i geometria amb les classes anteriors de taller (Classes 1 a 13).