Taller de reparació
Dissenyeu un cartell compost per un rectangle i un triangle sense superposició. Indiqueu les mides i calculeu la superfície.
El repte d’avui
Objectius: distingir superfície i vora, calcular material amb reserva i caixes senceres, i justificar un pressupost amb descompte. Recuperarem les àrees de la unitat anterior sense donar-les per dominades.
Materials: full quadriculat, llapis, calculadora i navegador. Treballeu en parelles: una persona calcula i l’altra comprova les unitats; canvieu de rol a cada missió.
- 5 min · Àrea o perímetre? Dibuixeu una taula i marqueu interior i vora.
- 8 min · Exemple guiat i tria de projecte.
- 30 min · Missions 1–6 amb operacions al quadern.
- 7 min · Compareu els càlculs i defenseu la compra de caixes.
- 5 min · Tiquet individual de sortida.
Si cal més suport, prioritzeu les missions 1–3 i repreneu les altres a la sessió següent.
Tres propostes per continuar el projecte
Escolliu la història del vostre equip. Les sis missions tenen les mateixes dades per poder comparar procediments. La tria canvia l’encàrrec creatiu final.
Zona de videojocs
Dissenyeu una estora rectangular amb una obertura rectangular interior per als cables. Indiqueu les mides i calculeu la superfície útil.
Espai de reutilització
Dissenyeu un panell amb dues zones rectangulars sense superposició. Calculeu l’àrea total i el percentatge de cada zona.
Podeu triar un projecte o començar les missions comunes.
Com revisar les propostes creatives
Cal lliurar un dibuix acotat, les operacions amb unitats i una explicació. Les respostes són obertes. Exemples per contrastar després de dissenyar:
Reparació: rectangle de $20\cdot10$ i triangle de $20\cdot6/2$: $200+60=260\,\text{cm}^2$.
Videojocs: estora de $40\cdot30$ amb forat de $5\cdot4$: $1200-20=1180\,\text{cm}^2$.
Reutilització: zones de $20\cdot10$ i $10\cdot10$: total $300\,\text{cm}^2$; parts $\frac{200}{300}\cdot100\approx66{,}67\%$ i $\frac{100}{300}\cdot100\approx33{,}33\%$.
Guia ràpida: de la mida al cost
L’àrea mesura l’interior i el perímetre la vora. Mantén la mateixa unitat en tots els costats abans de calcular.
Superfície i vora
$$A_r=b\cdot h\qquad P_r=2(b+h)$$ $$A_t=\frac{b\cdot h}{2}$$Material i compra
$$A_{\text{reserva}}=A\left(1+\frac{p}{100}\right)$$ $$n=\frac{A_{\text{reserva}}}{\text{cobertura per caixa}}$$Si no és enter, compra el nombre enter següent.
Descompte i saldo
$$D=C\cdot\frac{p}{100}$$ $$C_f=C-D\qquad S=B-C_f$$La lletra $B$ representa el pressupost disponible.
Exemple guiat amb altres dades
Una placa fa $7\,\text{m}$ per $2\,\text{m}$: $A=14\,\text{m}^2$ i $P=18\,\text{m}$. Amb un $20\%$ de reserva calen $14\cdot1{,}20=16{,}8\,\text{m}^2$. Si cada caixa cobreix $3\,\text{m}^2$, $16{,}8/3=5{,}6$: comprem sis caixes. A $10\,\text{€}$ la caixa i amb un $5\%$ de descompte, paguem $60-3=57\,\text{€}$.
Errors que pots detectar: confondre metres amb metres quadrats, descomptar abans de calcular el cost o arrodonir les caixes cap avall. Escriu decimals amb coma.
El tauler de missions
Cada missió validada suma 100 punts una sola vegada. No hi ha penalització per intents ni límit de temps. Si consultes una solució, queda indicada l’ajuda. Els punts mostren progrés, no una nota.
Missió 1
Mesurem el local
El local és un rectangle de $6\,\text{m}$ per $4\,\text{m}$. Calcula la superfície del terra i la longitud de tota la vora.
Una pista
La superfície es recobreix; la vora s’envolta. Suma els quatre costats per al perímetre.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=6\cdot4=24\,\text{m}^2$$ $$P=2\cdot(6+4)=20\,\text{m}$$Operacions, dibuix i justificació:
Missió 2
Preparem el paviment
Dels $24\,\text{m}^2$ del local, una zona fixa de $2\,\text{m}$ per $1\,\text{m}$ no es recobreix. Cada caixa cobreix $2\,\text{m}^2$. Calcula la superfície que cal recobrir i les caixes necessàries, sense reserva.
Una pista
Resta l’àrea de la zona fixa i divideix per la cobertura d’una caixa.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=24-2\cdot1=22\,\text{m}^2$$ $$n=22/2=11\text{ caixes}$$Operacions, dibuix i justificació:
Missió 3
Resolem l’imprevist
Per cobrir els $22\,\text{m}^2$, afegim un $10\%$ de reserva per a retalls. Cada caixa cobreix $2\,\text{m}^2$. Calcula la superfície amb reserva i el nombre mínim de caixes senceres.
Una pista
Calcula la reserva sobre la superfície útil. Si la divisió no dona un enter, compra la caixa següent.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=22+22\cdot0{,}10=24{,}2\,\text{m}^2$$ $$24{,}2/2=12{,}1\Rightarrow13\text{ caixes}$$Amb dotze caixes faltaria material. La reserva és material addicional, no una nova superfície del local.
Operacions, dibuix i justificació:
Missió 4
Negociem la compra
Comprem les $13$ caixes a $18\,\text{€}$ cadascuna. El proveïdor fa un descompte del $10\%$ sobre tota la compra. Calcula el cost abans del descompte i el preu final. Els preus ja inclouen els impostos; no n’afegeixis.
Una pista
Multiplica quantitat per preu. Resta el descompte calculat sobre el cost inicial.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$C=13\cdot18=234\,\text{€}$$ $$D=234\cdot0{,}10=23{,}40\,\text{€}$$ $$C_f=234-23{,}40=210{,}60\,\text{€}$$Operacions, dibuix i justificació:
Missió 5
Instal·lem el sòcol
La vora total del local és de $20\,\text{m}$ i la porta ocupa $1\,\text{m}$ on no posem sòcol. El sòcol costa $3{,}50\,\text{€/m}$ i es ven a mida, sense recàrrec ni reserva. Calcula la longitud que comprem i el cost.
Una pista
La porta es resta del perímetre, no de l’àrea. El preu és per metre de longitud.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$L=20-1=19\,\text{m}$$ $$C=19\cdot3{,}50=66{,}50\,\text{€}$$Operacions, dibuix i justificació:
Missió 6
Obrim les portes
El paviment costa $210{,}60\,\text{€}$, el sòcol $66{,}50\,\text{€}$ i el cartell $22{,}90\,\text{€}$. Disposem de $350\,\text{€}$. Calcula la despesa total i els diners que queden.
Una pista
Suma les tres despeses. Després compara-les amb el pressupost disponible.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$C=210{,}60+66{,}50+22{,}90=300\,\text{€}$$ $$S=350-300=50\,\text{€}$$Podem obrir dins del pressupost. Explica quin efecte ha tingut comprar caixes senceres.
Operacions, dibuix i justificació:
Tiquet individual · 5 minuts
Una peça rectangular fa $4\,\text{m}$ per $2\,\text{m}$. Cal folrar-ne l’interior a $5\,\text{€/m}^2$, sense reserva i amb venda a mida. Calcula l’àrea i el cost. Explica per què no utilitzes el perímetre.
Solució del tiquet
$$A=4\cdot2=8\,\text{m}^2\qquad C=8\cdot5=40\,\text{€}$$Es compra material per recobrir l’interior; per això utilitzem l’àrea.
Quadern de missions per fer a casa
Treball individual · 35–45 minuts: resol els exercicis 1–6. Els exercicis 7–8 i el disseny del projecte són ampliacions opcionals. Pots repartir el quadern en dos dies. No cal utilitzar el navegador: imprimeix-lo o copia els enunciats.
Lliurament: dibuix quan correspongui, fórmula, substitució de dades, resultat amb unitat i una frase de comprovació. Revisa primer sense mirar la solució i anota un error que hagis corregit. La data de lliurament la concretarà el docent.
Nom: ____________________________________ Data: __________________
A casa · Exercici 1
Una taula nova
Una taula rectangular fa $120\,\text{cm}$ per $60\,\text{cm}$. Calcula l’àrea i el perímetre. Explica quina magnitud necessites per folrar el sobre i quina per protegir la vora.
Una pista
Fes un dibuix i diferencia interior i contorn.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=120\cdot60=7200\,\text{cm}^2\qquad P=2\cdot(120+60)=360\,\text{cm}$$Per folrar cal l’àrea; per protegir la vora cal el perímetre.
Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 2
Un cartell triangular
Un cartell triangular té base de $80\,\text{cm}$ i altura perpendicular de $50\,\text{cm}$. Retallem el triangle d’un rectangle amb aquestes mateixes base i altura. Calcula l’àrea del triangle i la superfície que sobra.
Una pista
Calcula primer el rectangle i recorda quina fracció n’ocupa el triangle.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A_r=80\cdot50=4000\,\text{cm}^2$$ $$A_t=4000/2=2000\,\text{cm}^2\qquad A_s=4000-2000=2000\,\text{cm}^2$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 3
Un panell amb finestra
Un panell fa $90\,\text{cm}$ per $60\,\text{cm}$. Té una finestra interior rectangular de $30\,\text{cm}$ per $20\,\text{cm}$. Calcula l’àrea exterior i la superfície de material que queda.
Una pista
La finestra és un forat: resta la seva superfície de la del panell complet.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A_e=90\cdot60=5400\,\text{cm}^2$$ $$A_u=5400-30\cdot20=4800\,\text{cm}^2$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 4
Una zona de treball
Una zona rectangular fa $5\,\text{m}$ per $3\,\text{m}$. Un armari fix ocupa $1\,\text{m}$ per $1\,\text{m}$ i no es pavimenta a sota. El material es ven a mida a $12\,\text{€/m}^2$, sense reserva. Calcula l’àrea a pavimentar i el cost.
Una pista
Resta l’armari abans de multiplicar pel preu unitari.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=5\cdot3-1\cdot1=14\,\text{m}^2$$ $$C=14\cdot12=168\,\text{€}$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 5
Caixes i reserva
Cal cobrir $18\,\text{m}^2$ i afegir-hi un $10\%$ de reserva. Cada caixa cobreix $2\,\text{m}^2$. Calcula la superfície amb reserva i les caixes senceres mínimes.
Una pista
La reserva es calcula sobre la superfície inicial. Arrodoneix les caixes cap amunt.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=18\cdot1{,}10=19{,}8\,\text{m}^2$$ $$19{,}8/2=9{,}9\Rightarrow10\text{ caixes}$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 6
Un pressupost ajustat
Deu caixes costen $16\,\text{€}$ cadascuna i tenen un descompte del $15\%$. El transport costa $12\,\text{€}$ i no té descompte. Disposem de $160\,\text{€}$. Calcula la despesa amb transport i el saldo. Els impostos ja estan inclosos.
Una pista
Aplica el descompte només a les caixes. Afegeix el transport després.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$C=10\cdot16=160\,\text{€}$$ $$C_f=160-160\cdot0{,}15+12=148\,\text{€}$$ $$S=160-148=12\,\text{€}$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 7
Ampliació: disseny en L
Un espai en L s’obté traient d’una cantonada d’un rectangle de $8\,\text{m}$ per $5\,\text{m}$ un rectangle de $3\,\text{m}$ per $2\,\text{m}$. Calcula l’àrea de la L i el cost de revestir-la a $9{,}50\,\text{€/m}^2$, amb venda a mida i sense reserva. Dibuixa el retall.
Una pista
Dibuixa el rectangle gran i marca la cantonada retirada. No restis longituds de superfícies.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
$$A=8\cdot5-3\cdot2=34\,\text{m}^2$$ $$C=34\cdot9{,}50=323\,\text{€}$$Operacions, dibuix i justificació:
A casa · Exercici 8
Ampliació: inventa i defensa
Dissenya un rectangle de $24\,\text{m}^2$ diferent del de $6\,\text{m}$ per $4\,\text{m}$. Dibuixa’l, escriu els costats i calcula el perímetre. Compara’l amb els $20\,\text{m}$ de vora del local inicial. Pot haver-hi la mateixa àrea i diferent perímetre?
Resposta oberta: fes el dibuix i la justificació al quadern.
Una pista
Tria una parella de longituds amb el producte indicat. Després suma’n els quatre costats.
Solució raonada · consulta-la després d’intentar-ho
Hi ha diverses respostes vàlides. Per exemple:
$$8\cdot3=24\,\text{m}^2\qquad P=2\cdot(8+3)=22\,\text{m}$$La mateixa àrea pot tenir perímetres diferents. Comprova el producte dels teus costats i justifica la comparació; aquest exercici es revisa amb el docent.
Operacions, dibuix i justificació: