Solucionari · 10 punts

Àrees amb enginy: correcció

Procediments possibles i criteris per valorar el raonament.

Criteri general

Accepta qualsevol procediment equivalent ben justificat. Dona crèdit al mètode correcte amb un error aritmètic i no penalitzis dues vegades un error arrossegat si els passos posteriors són coherents. Els punts indicats corresponen exclusivament a aquesta prova.

1 · Taulell en L · 1,5 punts

a) Rectangle exterior: $3\cdot1{,}6=4{,}8\text{ m}^2$. Retall: $1\cdot0{,}8=0{,}8\text{ m}^2$.

$$A=4{,}8-0{,}8=4\text{ m}^2$$

b) Rectangle esquerre: $2\text{ m}\times1{,}6\text{ m}$. Rectangle inferior dret: $1\text{ m}\times0{,}8\text{ m}$.

$$A=2\cdot1{,}6+1\cdot0{,}8=3{,}2+0{,}8=4\text{ m}^2$$

a) 0,5 per identificar i calcular les dues àrees; 0,5 per restar i donar unitats. b) 0,25 per les dimensions i absència de solapament; 0,25 per la comprovació.

2 · Rètol · 2 punts

a) Radi exterior: $1{,}2/2=0{,}6\text{ m}$. Radi del forat: $0{,}3/2=0{,}15\text{ m}$.

$$A_{\text{rectangle}}=1{,}2\cdot0{,}6=0{,}72\text{ m}^2$$ $$A_{\text{semicercle}}=\frac{3{,}14\cdot0{,}6^2}{2}=0{,}5652\text{ m}^2$$ $$A_{\text{forat}}=3{,}14\cdot0{,}15^2=0{,}07065\text{ m}^2$$ $$A=0{,}72+0{,}5652-0{,}07065=1{,}21455\text{ m}^2\approx1{,}21\text{ m}^2$$

b) La Laia confon diàmetre i radi. El radi que fa servir és el doble del correcte i l’àrea del forat resulta quatre vegades més gran. En restar massa, estima menys material del que queda.

a) 0,5 pels dos radis; 0,5 per les àrees parcials; 0,5 per combinar, arrodonir i donar unitats. b) 0,25 per l’error; 0,25 pel sentit de l’efecte.

3 · Trapezi · 2 punts

a) La diferència entre bases es reparteix entre els dos costats: $(90-50)/2=20\text{ cm}$ de base per a cada triangle. L’altura és $40\text{ cm}$.

$$A=50\cdot40+2\cdot\frac{20\cdot40}{2}=2000+800=2800\text{ cm}^2$$

b) Comprovació amb les bases i l’altura perpendicular:

$$A=\frac{(90+50)\cdot40}{2}=2800\text{ cm}^2=0{,}28\text{ m}^2$$

c) Un metre conté cent centímetres en cada dimensió. Per tant, $1\text{ m}^2=100\cdot100=10000\text{ cm}^2$: cal dividir entre deu mil.

a) 0,25 per deduir la base lateral; 0,5 per calcular les tres peces; 0,25 per sumar amb unitats. b) 0,25 pel trapezi; 0,25 per convertir. c) 0,5 per explicar el factor d’àrea.

4 · Paviment · 2 punts

a) Cada longitud del plànol es multiplica per cinquanta.

$$12\cdot50=600\text{ cm}=6\text{ m},\quad8\cdot50=400\text{ cm}=4\text{ m}$$

Pilar: $1\cdot50=50\text{ cm}=0{,}5\text{ m}$ de costat.

$$A_{\text{neta}}=6\cdot4-0{,}5^2=24-0{,}25=23{,}75\text{ m}^2$$

b) Reserva i compra:

$$A_{\text{compra}}=23{,}75\cdot1{,}10=26{,}125\text{ m}^2$$ $$N=\frac{26{,}125}{2}=13{,}0625\quad\Rightarrow\quad14\text{ paquets}$$ $$C=14\cdot18{,}50=259\text{ €}$$

Tretze paquets cobreixen $26\text{ m}^2$, insuficients per a la reserva exigida. Catorze cobreixen $28\text{ m}^2$. No es pot arrodonir al paquet més proper: s’ha d’arrodonir cap amunt.

a) 0,5 per dimensions de sala i pilar; 0,5 per àrea neta. b) 0,25 per reserva; 0,25 per paquets; 0,25 per justificar; 0,25 per cost.

5 · Disseny creatiu · 2,5 punts

Una resposta possible: «La casa del taller», formada per un rectangle de $6\text{ m}\times3\text{ m}$ i un triangle superior de base $6\text{ m}$ i altura $2\text{ m}$, units per tota la base del triangle.

$$A=6\cdot3+\frac{6\cdot2}{2}=18+6=24\text{ m}^2$$

El contorn pot tenir els vèrtexs $(1,0)$, $(7,0)$, $(7,3)$, $(4,5)$ i $(1,3)$, amb coordenades en metres. Ocupa una amplada de $6\text{ m}$ i una altura de $5\text{ m}$; cap dins del rectangle de $8\text{ m}\times6\text{ m}$.

La zona triangular podria acollir un expositor. Cal justificar una utilitat de la forma; no n’hi ha prou amb dir que és bonica.

Canvi possible: rectangle de $6\text{ m}\times2\text{ m}$ i triangle de base $6\text{ m}$ i altura $4\text{ m}$. L’àrea continua sent $6\cdot2+6\cdot4/2=24\text{ m}^2$ i l’altura total és $6\text{ m}$. Vèrtexs possibles: $(1,0)$, $(7,0)$, $(7,2)$, $(4,6)$ i $(1,2)$.

Rúbrica del disseny
Evidència	Punts
Contorn connectat i no rectangular, rectangle i triangle positius sense solapament, dimensions llegibles i nom	0,75
Càlcul de les peces i àrea total exacta (0,75); comprovació que cap dins l’espai (0,25)	1
Ús concret de la forma justificat	0,25
Canvi de dimensions amb àrea conservada (0,25) i encaix verificat (0,25)	0,5

Accepta altres figures que satisfacin totes les condicions. Una figura amb la mateixa àrea però que surt de la graella no compleix el repte.