2n trimestre · Bloc A4 · Prova pròpia

Àrees amb enginy

Dissenya un taller, aprofita materials i defensa les teves decisions.

55 minuts10 puntsIndividual · Calculadora i regle

Abans de començar

Cada exercici té una ajuda desplegable, tancada d’entrada, que pots obrir quan la necessitis.

Objectius: descompondre figures, calcular superfícies amb unitats coherents i crear una proposta que compleixi restriccions.

Mostra les operacions i explica què sumes o restes. Fes servir $\pi=3{,}14$ i arrodoneix només el resultat final a dos decimals quan calgui. Totes les dimensions i els preus són ficticis. Els dibuixos dels exercicis 1–4 són esquemàtics: no els mesuris.

Temps orientatiu: lectura, 3 min; exercicis 1–5, 8 + 10 + 10 + 9 + 12 min; revisió final, 3 min. Pots respondre en paper o als camps de la pàgina. Els camps no desen les respostes: imprimeix-les abans de sortir si les vols conservar.

Formulari de suport

Rectangle: $A=b\cdot h$

Triangle: $A=\frac{b\cdot h}{2}$

Trapezi: $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$

Cercle: $A=\pi r^2$

Semicercle: $A=\frac{\pi r^2}{2}$

$1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2$

$b$: base o amplada; $B$: base gran del trapezi; $h$: altura perpendicular; $r$: radi. L’àrea mesura superfície, no la longitud del contorn.

1 · El taulell que no és un rectangle

1,5 punts

Una empresa vol folrar un taulell en forma de L. El construeix traient un rectangle d’una cantonada del rectangle exterior.

Taulell en forma de L amb un retall rectangular a la cantonada superior dretaABRetall
Rectangle exterior: $3\text{ m}$ de llarg i $1{,}6\text{ m}$ d’ample. Retall: $1\text{ m}$ de llarg i $0{,}8\text{ m}$ d’ample. La zona acolorida és el taulell; el contorn discontinu completa el rectangle exterior.
  1. Calcula l’àrea útil del taulell. 1 punt
  2. Comprova el resultat dividint la L en dos rectangles que no se superposin. Indica les dimensions de cadascun. 0,5 punts
Ajuda desplegable · Exercici 1

Prova primer de resoldre’l; consulta aquests passos si et quedes encallat.

  1. Calcula per separat l’àrea del rectangle exterior i la del retall: $A=b\cdot h$.
  2. El retall no forma part del taulell: $A_{\text{taulell}}=A_{\text{exterior}}-A_{\text{retall}}$.
  3. Per comprovar-ho, allarga verticalment el costat interior de la L fins a baix. L’amplada del rectangle esquerre és la llargada exterior menys la llargada del retall; l’altura del rectangle dret és l’altura exterior menys l’altura del retall.
  4. Suma les àrees dels dos rectangles i comprova que obtens el mateix resultat amb unitats quadrades.

2 · Un rètol amb corbes i un buit

2 punts

El taller necessita un rètol format per un rectangle i un semicercle superior. A dins s’hi retalla un forat circular per passar un cable.

Panell rectangular amb semicercle superior i forat circular interiorRectangleSemicercle
Rectangle: $1{,}2\text{ m}$ d’ample i $0{,}6\text{ m}$ d’alt. El semicercle té diàmetre $1{,}2\text{ m}$ i comparteix només la base amb el rectangle. El forat circular té diàmetre $0{,}3\text{ m}$ i queda completament dins del rectangle.
  1. Calcula l’àrea de material que queda després del retall. Escriu els dos radis i les tres àrees que combines. 1,5 punts
  2. La Laia resta $\pi\cdot0{,}3^2$ per al forat. Explica l’error i si això faria estimar més o menys material del que realment queda. 0,5 punts
Ajuda desplegable · Exercici 2

Prova primer de resoldre’l; consulta aquests passos si et quedes encallat.

  1. Abans de calcular les àrees, converteix cadascun dels diàmetres en radi: $r=d/2$.
  2. Per al semicercle, calcula l’àrea del cercle i divideix-la per dos. El forat és un cercle complet.
  3. Organitza el càlcul així: $A_{\text{material}}=A_{\text{rectangle}}+A_{\text{semicercle}}-A_{\text{forat}}$. Conserva els decimals fins al final.
  4. Per analitzar l’error de la Laia, compara la mesura que substitueix amb la que demana la fórmula. Si el forat calculat fos massa gran, què passaria amb el material que queda després de restar-lo?

3 · Una peça, dos mètodes

2 punts

La base d’un expositor és un trapezi isòsceles. El volem fabricar combinant un rectangle central i dos triangles iguals.

Trapezi dividit en un rectangle central i dos triangles lateralsCentreTT
Trapezi isòsceles: base gran $90\text{ cm}$, base petita $50\text{ cm}$ i altura perpendicular $40\text{ cm}$. El rectangle central té amplada $50\text{ cm}$; els dos triangles laterals són iguals.
  1. Dedueix la base de cadascun dels triangles laterals i calcula l’àrea total sumant les tres peces. 1 punt
  2. Comprova-la amb la fórmula del trapezi i expressa el resultat en metres quadrats. 0,5 punts
  3. Un company diu que convertir de centímetres quadrats a metres quadrats consisteix a dividir entre cent. Explica per què no és correcte. 0,5 punts
Ajuda desplegable · Exercici 3

Prova primer de resoldre’l; consulta aquests passos si et quedes encallat.

  1. La base gran conté l’amplada del rectangle central i les bases dels dos triangles iguals. Resta la base petita de la gran i reparteix la diferència entre dos.
  2. Els triangles i el rectangle tenen la mateixa altura perpendicular. Calcula $A_{\text{rectangle}}=b\cdot h$ i $A_{\text{triangle}}=b\cdot h/2$; compta els dos triangles.
  3. Comprova la suma amb $A_{\text{trapezi}}=(B+b)\cdot h/2$.
  4. En una superfície, la conversió afecta dues dimensions: $1\text{ m}^2=(100\text{ cm})\cdot(100\text{ cm})$. Dedueix el divisor correcte abans de convertir.

4 · Del plànol a la compra de paviment

2 punts

Cal cobrir el terra d’una sala, excepte la superfície ocupada pel pilar. Afegim un $10\,\%$ de l’àrea neta per als retalls. Cada paquet cobreix $2\text{ m}^2$ i costa $18{,}50\text{ €}$. Només es venen paquets sencers.

Plànol d’una sala rectangular amb un pilar quadrat interiorSalaPilar
Escala $1:50$. Al plànol, la sala fa $12\text{ cm}\times8\text{ cm}$ i el pilar interior $1\text{ cm}\times1\text{ cm}$. Dibuix esquemàtic; les dades escrites prevalen sobre les proporcions del dibuix.
  1. Troba les dimensions reals de sala i pilar i calcula l’àrea neta de terra. 1 punt
  2. Calcula la superfície de compra amb la reserva, el nombre mínim de paquets i el cost. Explica l’arrodoniment dels paquets. 1 punt
Ajuda desplegable · Exercici 4

Prova primer de resoldre’l; consulta aquests passos si et quedes encallat.

  1. L’escala relaciona longituds: multiplica cada mesura del plànol pel factor d’escala i passa de centímetres a metres abans de calcular les àrees.
  2. El pilar ocupa un quadrat. Resta la seva àrea de l’àrea de la sala: $A_{\text{neta}}=A_{\text{sala}}-A_{\text{pilar}}$.
  3. Calcula la reserva sobre l’àrea neta i afegeix-la: $A_{\text{compra}}=A_{\text{neta}}\cdot(1+10/100)$.
  4. Divideix la superfície de compra per la cobertura d’un paquet. Tria un nombre enter de paquets que cobreixi tota la superfície exigida i multiplica’l pel preu d’un paquet.

5 · Crea una zona de treball única

2,5 punts

Inventa la forma d’una zona de treball dins d’un espai de $8\text{ m}\times6\text{ m}$. La zona ha de tenir exactament $24\text{ m}^2$, ser una única figura connectada i combinar almenys un rectangle i un triangle d’àrea positiva. Les peces poden compartir costats, però no superposar-se. El resultat no pot ser un simple rectangle.

Graella de $8\times6$ quadrats. Cada costat de quadrat representa $1\text{ m}$. Dibuixa-hi en la còpia impresa o descriu els vèrtexs en la resposta digital, prenent la cantonada inferior esquerra com a origen.
  1. Dibuixa el contorn i la divisió en peces. Escriu totes les bases i altures necessàries i dona un nom al disseny. 0,75 punts
  2. Demostra amb càlculs que l’àrea és exactament la demanada i que el disseny cap dins de l’espai. 1 punt
  3. Justifica un ús concret de la part triangular o de la forma escollida. No es puntua la qualitat artística. 0,25 punts
  4. Proposa un canvi de dimensions que conservi l’àrea total i torna a comprovar que cap dins del mateix espai. 0,5 punts
Ajuda desplegable · Exercici 5

Prova primer de resoldre’l; consulta aquests passos si et quedes encallat.

  1. Comença amb un esbós d’un rectangle i un triangle units per un costat. Marca la base i l’altura perpendicular de cada peça.
  2. Tria unes dimensions inicials per al rectangle i calcula quina àrea falta: $A_{\text{triangle}}=24\text{ m}^2-A_{\text{rectangle}}$. L’àrea que falta ha de ser positiva.
  3. Busca una base i una altura que compleixin $A_{\text{triangle}}=b\cdot h/2$. Comprova l’amplada i l’altura totals de la figura, a més de l’àrea.
  4. Per a la variant, passa una part de l’àrea d’una peça a l’altra: si una peça guanya superfície, l’altra n’ha de perdre la mateixa quantitat. Recalcula les dimensions i comprova de nou l’encaix a la graella.
  5. Justifica com aprofitaries la forma en un taller: treball, exposició, emmagatzematge o circulació. El disseny i les dimensions els decideixes tu.