Model de Prova de Grau Mitjà (Sèrie 2): Competència Matemàtica
Consolidem la preparació per als Cicles Formatius de Grau Mitjà (CFGM) amb un segon model complet d'examen oficial de la Generalitat de Catalunya (Sèrie 2).
Aquesta sessió planteja 8 exercicis pràctics i competencials sumant un total de 10 punts (amb bonificació perimetral): fraccions de mescla de combustible, descomptes encadenats, càlcul de volum d'un dipòsit cilíndric, escales i pavimentació, àlgebra de components de maquinari, comparativa de funcions de tarifes elèctriques, estadística de consum anual i càlcul de perímetre compost amb Pitàgores i tancament perimetral. Disposa de càlculs interactius, verificació immediata, visuals de suport i solucions amb els criteris oficials desglossats.
📋 Instruccions i material de la prova
10,0 PUNTS TOTALSMaterial permès: material d'ús habitual (bolígraf, regle, escaire, semicercle graduat, llapis) i calculadora científica. En cap cas no és permesa la cessió de calculadores ni de material entre aspirants.
Estructura del temps recomanat (60 minuts):
- 0–5 min: Lectura ràpida dels enunciats i planificació de la resolució.
- 5–45 min: Resolució individual dels reptes utilitzant la calculadora i revisant les unitats.
- 45–55 min: Verificació de resultats, comprovació d'unitats ($\text{L}$, $\text{m}$, $\text{m}^2$, $\text{m}^3$, $€$, $\text{kWh}$, $\%$) i arrodoniment.
- 55–60 min: Contrast amb el solucionari oficial i registre de puntuació.
Exercici 1 · Mescla de combustible al dipòsit logístic
1,5 PUNTSUn centre logístic disposa d'un dipòsit de combustible. Dues cinquenes parts ($\frac{2}{5}$) del dipòsit són gasolina de 95 octans, una quarta part ($\frac{1}{4}$) és gasolina de 98 octans i la resta és biodièsel.
a) Quina part del total correspon conjuntament a la gasolina de 95 i a la de 98 octans? [0,5 punts]
Calculeu la suma de les dues fraccions: $\frac{2}{5} + \frac{1}{4}$.
b) Si la capacitat total del dipòsit és de 2.400 litres, quants litres porta de gasolina 95? I de gasolina 98? [0,5 punts]
c) Quina part del total correspon al biodièsel? Quants litres són? [0,5 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 1
a) $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8 + 5}{20} = \mathbf{\frac{13}{20}}$ del dipòsit.
b) Gasolina 95: $\frac{2}{5} \cdot 2.400 = \frac{4.800}{5} = \mathbf{960\text{ litres}}$.
Gasolina 98: $\frac{1}{4} \cdot 2.400 = \frac{2.400}{4} = \mathbf{600\text{ litres}}$.
c) Fracció restant: $1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \mathbf{\frac{7}{20}}$.
Litres de biodièsel: $2.400 - 960 - 600 = \mathbf{840\text{ litres}}$ (o també $\frac{7}{20} \cdot 2.400 = 840\text{ litres}$).
Exercici 2 · Descomptes encadenats en maquinari
1,0 PUNTUna botiga d'informàtica ven una estació de treball valorada en $1.200\text{ €}$. En una primera campanya s'hi aplica un descompte del $15\,\%$. Posteriorment, durant la setmana de liquidació, s'aplica un descompte addicional del $10\,\%$ sobre el preu ja rebaixat.
a) Calculeu el preu de l'equip després del primer descompte del 15 %. [0,5 punts]
b) Calculeu el preu final després del segon descompte del 10 %. Quin percentatge de descompte global s'ha aplicat respecte al preu original de 1.200 €? [0,5 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 2
a) Descompte 1r: $15\,\%\text{ de } 1.200 = 0{,}15 \cdot 1.200 = \mathbf{180\text{ €}}$.
Preu després del primer descompte: $1.200 - 180 = \mathbf{1.020\text{ €}}$.
b) Descompte 2n: $10\,\%\text{ de } 1.020 = 0{,}10 \cdot 1.020 = \mathbf{102\text{ €}}$.
Preu final: $1.020 - 102 = \mathbf{918\text{ €}}$.
Rebaixa total en euros: $1.200 - 918 = \mathbf{282\text{ €}}$.
Percentatge de descompte global: $\frac{282}{1.200} \cdot 100 = \mathbf{23{,}5\,\%}$.
Nota pedagògica: Dos descomptes successius del $15\,\%$ i del $10\,\%$ no sumen un $25\,\%$, ja que el segon s'aplica sobre una base ja reduïda.
Exercici 3 · Dipòsit d'oli cilíndric i capacitat
1,5 PUNTSUn dipòsit d'oli per a maquinària té forma cilíndrica. El radi de la base circular és $r = 0{,}8\text{ m}$ i la seva alçada és $h = 2{,}5\text{ m}$.
Càlcul de superfícies, volum i capacitat del cilindre
Arrodoniu els resultats a dues xifres decimals. Recordeu: $A_b = \pi \cdot r^2$, $V = A_b \cdot h$ i $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litres}$.
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 3
a) Àrea de la base [0,5 punts]:
$$A_b = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 0{,}8^2 = \pi \cdot 0{,}64 \approx \mathbf{2{,}01\text{ m}^2}$$
b) Volum del cilindre [0,5 punts]:
$$V = A_b \cdot h = 2{,}0106 \cdot 2{,}5 = 1{,}6\pi \approx \mathbf{5{,}03\text{ m}^3}$$
c) Capacitat en litres [0,5 punts]:
Com que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litres}$:
$$5{,}0265\text{ m}^3 \cdot 1.000 = \mathbf{5.027\text{ litres}} \quad (\text{o } 5.026{,}5\text{ L})$$
Exercici 4 · Escales i pavimentació de la sala de servidors
1,5 PUNTSEn el plànol d’una nau industrial a escala 1:200, la sala destinada als servidors mesura $3{,}5\text{ cm}$ de llargada per $2{,}5\text{ cm}$ d’amplada.
a) Quines són les dimensions reals de la sala? Doneu el llarg i l'ample en metres. [0,75 punts]
b) Calculeu la superfície de la sala en metres quadrats. Si es vol instal·lar terra tècnic que costa 45 €/m², quant costarà la instal·lació completa? [0,75 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 4
a) Mides reals [0,75 punts]:
Llarg real: $3{,}5 \cdot 200 = 700\text{ cm} = \mathbf{7\text{ m}}$.
Ample real: $2{,}5 \cdot 200 = 500\text{ cm} = \mathbf{5\text{ m}}$.
b) Superfície i cost del paviment [0,75 punts]:
Superfície: $7 \cdot 5 = \mathbf{35\text{ m}^2} \quad \text{[0,35 punts]}$.
Cost total: $35\text{ m}^2 \cdot 45\text{ €/m}^2 = \mathbf{1.575\text{ €}} \quad \text{[0,40 punts]}$.
Exercici 5 · Compra de components de maquinari
1,5 PUNTSUn taller informàtic compra un lot de 12 discs durs SSD i 8 mòduls de memòria RAM per un cost total de $1.260\text{ €}$. Se sap que un disc SSD val $25\text{ €}$ més que un mòdul de memòria RAM. Quin és el preu d’un mòdul RAM i el d’un disc SSD?
Plantejament i resolució de l'equació de primer grau
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 5
Plantejament algebraic [0,75 punts]:
Preu d’un mòdul de memòria RAM = $x$
Preu d’un disc SSD = $x + 25$
$$8x + 12(x + 25) = 1.260$$
Resolució [0,75 punts]:
$$8x + 12x + 300 = 1.260 \implies 20x = 1.260 - 300 \implies 20x = 960$$
$$x = \frac{960}{20} = \mathbf{48\text{ €}}$$
Preu d'un mòdul RAM = $\mathbf{48\text{ €}}$
Preu d'un disc SSD = $48 + 25 = \mathbf{73\text{ €}}$
Exercici 6 · Comparativa de tarifes elèctriques
1,5 PUNTSPer contractar l'electricitat d'un nou taller, s'analitzen dues ofertes:
- Tarifa A: Quota fixa mensual de $30\text{ €}$ més $0{,}15\text{ €}$ per cada kWh consumit ($y = 0{,}15x + 30$).
- Tarifa B: Sense quota fixa mensual ($0\text{ €}$), però amb un preu de $0{,}25\text{ €}$ per cada kWh consumit ($y = 0{,}25x$).
a) Identifiqueu el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$) de cada funció. [0,5 punts]
b) Per a quin consum mensual en kWh tindran ambdues tarifes exactament el mateix cost? [0,5 punts]
c) Si el taller preveu consumir 500 kWh mensuals, quina tarifa és més econòmica i quant costarà cadascuna? [0,5 punts]
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 6
a) Pendents i ordenades [0,5 punts]:
Tarifa A ($y = 0{,}15x + 30$): pendent $\mathbf{m = 0{,}15}$, ordenada a l'origen $\mathbf{n = 30}$.
Tarifa B ($y = 0{,}25x$): pendent $\mathbf{m = 0{,}25}$, ordenada a l'origen $\mathbf{n = 0}$.
b) Punt d'equilibri [0,5 punts]:
$$0{,}25x = 0{,}15x + 30 \implies 0{,}10x = 30 \implies x = \frac{30}{0{,}10} = \mathbf{300\text{ kWh}}$$
A $300\text{ kWh}$, ambdues tarifes costen exactament $75\text{ €}$.
c) Comparació a 500 kWh [0,5 punts]:
Cost Tarifa A: $0{,}15 \cdot 500 + 30 = 75 + 30 = \mathbf{105\text{ €}}$.
Cost Tarifa B: $0{,}25 \cdot 500 = \mathbf{125\text{ €}}$.
Per a consums superiors a $300\text{ kWh}$, la Tarifa A és més econòmica (estalvi de $20\text{ €}$).
Exercici 7 · Estadística de consum elèctric anual
1,5 PUNTSLa taula següent recull el consum elèctric mensual (en kWh) d’un taller durant els dotze mesos de l’any:
| Mes | Gen | Feb | Mar | Abr | Mai | Jun | Jul | Ag | Set | Oct | Nov | Des |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Consum (kWh) | 420 | 380 | 350 | 310 | 290 | 330 | 410 | 250 | 320 | 360 | 400 | 470 |
a) Representeu les dades mitjançant un diagrama de barres. [0,75 punts]
Activeu la visualització per generar el diagrama interactiu amb les barres mensuals i la referència de la mitjana:
b) Calculeu el consum elèctric mitjà mensual del taller durant l’any. [0,75 punts]
Recordeu: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{N}$, on $N = 12$ mesos.
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 7
a) Diagrama de barres [0,75 punts]:
Barres proporcionals a cada mes sobre l'eix de zero, mostrant els pics d'hivern (desembre amb $470\text{ kWh}$, gener amb $420\text{ kWh}$) i el mínim a l'agost ($250\text{ kWh}$).
b) Càlcul de la mitjana aritmètica [0,75 punts]:
Suma total: $420 + 380 + 350 + 310 + 290 + 330 + 410 + 250 + 320 + 360 + 400 + 470 = 4.290\text{ kWh}$.
$$\bar{x} = \frac{4.290}{12} = \mathbf{357{,}5\text{ kWh}}$$
Exercici 8 · Perímetre compost del circuit de proves i tancament
1,5 PUNTSAl pati exterior del centre de formació s'ha dissenyat un circuit d'assaig per a vehicles elèctrics de mobilitat personal (VMP). La pista està delimitada per una parcel·la geomètrica composta formada per cinc trams de contorn ($AB$, $BC$, $CD$, $DE$ i $EA$):
- Un tram recte horitzontal inferior $AB = 60\text{ m}$.
- Un revolt semicircular cap a l'exterior $BC$ amb un diàmetre de $30\text{ m}$ (radi $r = 15\text{ m}$).
- Un tram recte horitzontal superior $CD = 36\text{ m}$.
- Un xamfrà inclinat oblic $DE$, corresponent a la hipotenusa d'un triangle rectangle auxiliar de base $24\text{ m}$ i alçada vertical $18\text{ m}$.
- Un tram recte vertical $EA = 12\text{ m}$ que tanca el recinte.
Atenció: Les línies discontínues interiors són auxiliars de replanteig i no formen part del perímetre exterior del circuit.
a) Longitud del tram oblic inclinat $DE$ (Pitàgores) [0,5 punts]
Calculeu la longitud del tram inclinat $DE$ fent servir el teorema de Pitàgores amb els catets de $24\text{ m}$ i $18\text{ m}$.
b) Longitud de l'arc semicircular corbat $BC$ [0,5 punts]
Calculeu la longitud de la corba exterior $BC$ de radi $r = 15\text{ m}$. Arrodoniu a dues xifres decimals ($L = \pi \cdot r$).
c) Perímetre exterior total del circuit i cost de la tanca de seguretat [0,5 punts]
Calculeu el perímetre total sumant els 5 trams ($AB + BC + CD + DE + EA$). Si es vol envoltar el perímetre amb una tanca metàl·lica que costa 25 €/m, quant costarà el tancament complet? (Arrodoniu el cost a l'euro enter més proper).
👁️ Veure solució i criteris oficials de l'exercici 8
a) Tram oblic $DE$ aplicant el teorema de Pitàgores [0,5 punts]:
$$DE = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = \mathbf{30\text{ m}}$$
b) Longitud de l'arc semicircular $BC$ [0,5 punts]:
$$L_{\text{arc}} = \frac{2\pi \cdot r}{2} = \pi \cdot 15 \approx \mathbf{47{,}12\text{ m}}$$
c) Perímetre total i pressupost de la tanca perimetral [0,5 punts]:
Suma dels 5 trams del contorn exterior (les línies interiors discontínues no es compten):
$$P = AB + BC + CD + DE + EA = 60 + 47{,}12 + 36 + 30 + 12 = \mathbf{185{,}12\text{ m}}$$
Cost del tancament a $25\text{ €/m}$:
$$\text{Cost} = 185{,}12\text{ m} \cdot 25\text{ €/m} = \mathbf{4.628\text{ €}}$$
🎯 Tancament i consolidació per a Grau Mitjà
CRITERIS GENERALSValoració del resultat obtingut a la Sèrie 2:
- De 8,5 a 10 punts: Nivell excel·lent. Domini complet dels models de Grau Mitjà, preparat per a qualsevol cicle tècnic.
- De 6,5 a 8,4 punts: Assoliment notable. Convé afinar el plantejament d'equacions algebraiques o la comparació de funcions.
- De 5,0 a 6,4 punts: Assoliment suficient. Repasseu el càlcul de volums cilíndrics i els percentatges acumulats.
- Menys de 5,0 punts: Cal reprendre els mòduls de proporcionalitat, geometria i àlgebra de les classes de 1r trimestre.