4t ESO · Unitat 1 · Solucionari

Potències i radicals

La fitxa «Per practicar» resolta: 13 exercicis i 56 apartats, amb el procediment per entendre cada resultat.

Com treballar la fitxa

Objectius: convertir potències i arrels, simplificar radicals, operar-hi i racionalitzar denominadors.

Proposta de treball: tres blocs de 20 minuts: exercicis 1–6, 7–10 i 11–13. Intenta resoldre cada apartat abans de desplegar-ne la solució.

En els càlculs amb lletres suposem variables positives. Si s’admeten valors negatius o zero, cal comprovar el domini i els valors absoluts; trobaràs les precisions al final.

Consultar la fotografia original

Solucionari complet en PDF

Descarrega els 13 exercicis i els 56 apartats resolts, amb tots els procediments i les precisions de domini i signes, en un document d’11 pàgines preparat per imprimir.

Descarrega totes les solucions en PDF (11 pàgines)

1. Potències amb exponent fraccionari

$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ per a bases positives.

a) $\sqrt5$

Resolució:

$$5^{1/2}$$

b) $\sqrt[3]{x^2}$

Resolució:

$$x^{2/3}$$

c) $\sqrt{a^3}$

Resolució:

$$a^{3/2}$$

d) $\sqrt[5]{a^3}$

Resolució:

$$a^{3/5}$$

2. De potència a radical

El denominador de l’exponent és l’índex de l’arrel; el numerador és l’exponent del radicand.

a) $3^{1/2}$

Resolució:

$$\sqrt3$$

b) $5^{3/2}$

Resolució:

$$\sqrt{5^3}=5\sqrt5$$

c) $x^{1/5}$

Resolució:

$$\sqrt[5]x$$

d) $x^{5/3}$

Resolució:

$$\sqrt[3]{x^5}=x\sqrt[3]{x^2}$$

3. Simplificació de radicals

Descomponem les bases en factors primers i dividim l’índex i tots els exponents pel seu màxim comú divisor.

a) $\sqrt[4]{25}$

Resolució:

$$\sqrt[4]{5^2}=\sqrt5$$

b) $\sqrt[8]{8^2}$

Resolució:

$$\sqrt[8]{2^6}=\sqrt[4]{2^3}=\sqrt[4]8$$

c) $\sqrt[14]{x^6}$

Resolució:

$$\sqrt[7]{x^3}$$

d) $\sqrt[30]{16x^8}$

Resolució:

$$\sqrt[30]{2^4x^8}=\sqrt[15]{4x^4}$$

4. Extracció de factors

Separem potències completes de l’índex. En arrels parelles, l’extracció d’una potència requereix valor absolut si la base pot ser negativa.

a) $\sqrt{18}$

Resolució:

$$\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

b) $\sqrt[3]{16}$

Resolució:

$$\sqrt[3]{8\cdot2}=2\sqrt[3]2$$

c) $\sqrt{9a^3}$

Resolució:

$$\sqrt{(3a)^2a}=3a\sqrt a$$

d) $\sqrt{98a^3b^5c^7}$

Resolució:

$$\sqrt{(7ab^2c^3)^2\,2abc}=7ab^2c^3\sqrt{2abc}$$

5. Introducció de factors

Per introduir un factor dins d’una arrel, l’elevem a l’índex d’aquella arrel.

a) $3\sqrt5$

Resolució:

$$\sqrt{3^2\cdot5}=\sqrt{45}$$

b) $2\sqrt a$

Resolució:

$$\sqrt{2^2a}=\sqrt{4a}$$

c) $3a\sqrt{2a^2}$

Resolució:

$$\sqrt{(3a)^2\,2a^2}=\sqrt{18a^4}$$

d) $ab^2\sqrt[3]{a^2b}$

Resolució:

$$\sqrt[3]{(ab^2)^3a^2b}=\sqrt[3]{a^5b^7}$$

6. Índex mínim comú

Calculem el mínim comú múltiple dels índexs. Multipliquem cada exponent pel mateix factor que l’índex.

a) $\sqrt5;\ \sqrt[4]3$

Resolució:

$$\operatorname{mcm}(2,4)=4:\quad\sqrt[4]{25};\ \sqrt[4]3$$

b) $\sqrt[3]4;\ \sqrt[4]3;\ \sqrt2$

Resolució:

$$\operatorname{mcm}(3,4,2)=12:\quad\sqrt[12]{256};\ \sqrt[12]{27};\ \sqrt[12]{64}$$

c) $\sqrt[4]3;\ \sqrt[8]7;\ \sqrt2$

Resolució:

$$\operatorname{mcm}(4,8,2)=8:\quad\sqrt[8]9;\ \sqrt[8]7;\ \sqrt[8]{16}$$

d) $\sqrt3;\ \sqrt[6]{32};\ \sqrt[3]5$

Resolució:

$$\operatorname{mcm}(2,6,3)=6:\quad\sqrt[6]{27};\ \sqrt[6]{32};\ \sqrt[6]{25}$$

7. Sumes i restes de radicals

Primer descomponent en factors i extraient els que sigui possible, obtenim radicals semblants i en sumem o restem els coeficients.

a) $\sqrt{45}-\sqrt{125}-\sqrt{20}$

Descomponem els radicands i extraiem factors:

$$\sqrt{3^2\cdot5} - \sqrt{5^2\cdot5} - \sqrt{2^2\cdot5} = 3\sqrt5 - 5\sqrt5 - 2\sqrt5 = (3 - 5 - 2)\sqrt5 = -4\sqrt5$$

b) $\sqrt{75}-\sqrt{147}+\sqrt{675}-\sqrt{12}$

Descomponem en factors:

$$\sqrt{5^2\cdot3} - \sqrt{7^2\cdot3} + \sqrt{15^2\cdot3} - \sqrt{2^2\cdot3} = 5\sqrt3 - 7\sqrt3 + 15\sqrt3 - 2\sqrt3 = (5 - 7 + 15 - 2)\sqrt3 = 11\sqrt3$$

c) $\sqrt{175}+\sqrt{63}-2\sqrt{28}$

Descomponem en factors:

$$\sqrt{5^2\cdot7} + \sqrt{3^2\cdot7} - 2\sqrt{2^2\cdot7} = 5\sqrt7 + 3\sqrt7 - 2\cdot2\sqrt7 = (5 + 3 - 4)\sqrt7 = 4\sqrt7$$

d) $\sqrt{20}+\frac13\sqrt{45}+2\sqrt{125}$

Descomponem en factors:

$$\sqrt{2^2\cdot5} + \frac13\sqrt{3^2\cdot5} + 2\sqrt{5^2\cdot5} = 2\sqrt5 + \frac13\cdot3\sqrt5 + 2\cdot5\sqrt5 = 2\sqrt5 + \sqrt5 + 10\sqrt5 = 13\sqrt5$$

8. Productes de radicals

Amb el mateix índex multipliquem directament els radicands. Amb índexs diferents, primer reduïm al mínim comú múltiple dels índexs.

a) $\sqrt3\cdot\sqrt6$

Multipliquem els radicands i simplifiquem:

$$\sqrt{3\cdot6} = \sqrt{18} = \sqrt{3^2\cdot2} = 3\sqrt2$$

b) $5\sqrt2\cdot3\sqrt5$

Multipliquem coeficients entre si i radicands entre si:

$$(5\cdot3)\sqrt{2\cdot5} = 15\sqrt{10}$$

c) $\sqrt[3]{12}\cdot\sqrt[3]9$

Agrupem sota la mateixa arrel cúbica:

$$\sqrt[3]{12\cdot9} = \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{3^3\cdot4} = 3\sqrt[3]4$$

d) $\sqrt x\cdot\sqrt[3]{2x^2}$

Índex comú $\operatorname{mcm}(2,3)=6$:

$$\sqrt[6]{x^3}\cdot\sqrt[6]{(2x^2)^2} = \sqrt[6]{x^3\cdot4x^4} = \sqrt[6]{4x^7} = \sqrt[6]{x^6\cdot4x} = x\sqrt[6]{4x}$$

e) $\sqrt{2ab}\cdot\sqrt[4]{8a^3}$

Índex comú $\operatorname{mcm}(2,4)=4$:

$$\sqrt[4]{(2ab)^2}\cdot\sqrt[4]{8a^3} = \sqrt[4]{4a^2b^2\cdot8a^3} = \sqrt[4]{32a^5b^2} = \sqrt[4]{2^5a^5b^2} = 2a\sqrt[4]{2ab^2}$$

f) $\sqrt[4]{2x^2y^3}\cdot\sqrt[6]{5x^2}$

Índex comú $\operatorname{mcm}(4,6)=12$:

$$\sqrt[12]{(2x^2y^3)^3\cdot(5x^2)^2} = \sqrt[12]{8x^6y^9\cdot25x^4} = \sqrt[12]{200x^{10}y^9}$$

9. Productes amb sumes i restes

Apliquem la propietat distributiva i les identitats notables.

a) $(\sqrt2-\sqrt3)\sqrt2$

Distribuïm $\sqrt2$:

$$\sqrt2\cdot\sqrt2 - \sqrt3\cdot\sqrt2 = (\sqrt2)^2 - \sqrt6 = 2 - \sqrt6$$

b) $(7\sqrt5+5\sqrt3)\cdot2\sqrt3$

Distribuïm $2\sqrt3$:

$$7\sqrt5\cdot2\sqrt3 + 5\sqrt3\cdot2\sqrt3 = 14\sqrt{15} + 10(\sqrt3)^2 = 14\sqrt{15} + 10\cdot3 = 14\sqrt{15} + 30$$

c) $(2\sqrt3+\sqrt5-5\sqrt2)\cdot4\sqrt2$

Distribuïm $4\sqrt2$:

$$2\sqrt3\cdot4\sqrt2 + \sqrt5\cdot4\sqrt2 - 5\sqrt2\cdot4\sqrt2 = 8\sqrt6 + 4\sqrt{10} - 20\cdot2 = 8\sqrt6 + 4\sqrt{10} - 40$$

d) $(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)$

Apliquem la diferència de quadrats $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$$(\sqrt5)^2 - (\sqrt3)^2 = 5 - 3 = 2$$

10. Quocients de radicals

Dividim radicands quan tenen el mateix índex o reduïm primer a índex comú.

a) $\frac{\sqrt{6x}}{\sqrt{3x}}$

Agrupem en una sola arrel i simplifiquem:

$$\sqrt{\frac{6x}{3x}} = \sqrt2$$

b) $\frac{\sqrt{75x^2y^3}}{5\sqrt{3xy}}$

Agrupem el quocient sota l'arrel quadrada:

$$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{75x^2y^3}{3xy}} = \frac{1}{5}\sqrt{25xy^2} = \frac{1}{5}\cdot5y\sqrt x = y\sqrt x$$

c) $\frac{\sqrt{9x}}{\sqrt[3]{3x}}$

Índex comú $\operatorname{mcm}(2,3)=6$:

$$\sqrt[6]{\frac{(9x)^3}{(3x)^2}} = \sqrt[6]{\frac{(3^2x)^3}{3^2x^2}} = \sqrt[6]{\frac{3^6x^3}{3^2x^2}} = \sqrt[6]{3^4x} = \sqrt[6]{81x}$$

d) $\frac{\sqrt[3]{8a^3b}}{\sqrt[4]{4a^2}}$

Extraiem factors i simplifiquem:

$$\frac{\sqrt[3]{2^3a^3b}}{\sqrt[4]{(2a)^2}} = \frac{2a\sqrt[3]b}{\sqrt{2a}} = \frac{\sqrt{2a}\sqrt{2a}\sqrt[3]b}{\sqrt{2a}} = \sqrt{2a}\sqrt[3]b = \sqrt[6]{(2a)^3b^2} = \sqrt[6]{8a^3b^2}$$

e) $\frac{\sqrt[3]9}{\sqrt[9]3}$

Operem amb exponents fraccionaris:

$$\frac{3^{2/3}}{3^{1/9}} = 3^{2/3-1/9} = 3^{6/9-1/9} = 3^{5/9} = \sqrt[9]{3^5} = \sqrt[9]{243}$$

f) $\frac{\sqrt[6]{x^5}}{\sqrt[8]{x^3}}$

Operem amb exponents fraccionaris:

$$\frac{x^{5/6}}{x^{3/8}} = x^{5/6-3/8} = x^{20/24-9/24} = x^{11/24} = \sqrt[24]{x^{11}}$$

11. Arrels imbricades

Per resoldre arrels imbricades podem introduir els factors interiors dins de cada arrel consecutivament, o bé expressar cada arrel com a potència d'exponent fraccionari.

a) $\sqrt[5]{2\sqrt[4]2}$

Procediment pas a pas:

Introduïm el factor $2$ dins de l'arrel quarta: $2 = \sqrt[4]{2^4}$, per tant $2\sqrt[4]2 = \sqrt[4]{2^4\cdot 2} = \sqrt[4]{2^5}$.
Multipliquem els índexs de les arrels imbricades: $\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^5}} = \sqrt[5\cdot 4]{2^5} = \sqrt[20]{2^5}$.
Simplifiquem dividint índex i exponent pel seu $\operatorname{mcd}(20,5)=5$: $$\sqrt[20]{2^5} = \sqrt[4]{2^1} = \sqrt[4]2$$

Alternativa amb exponents: $(2\cdot2^{1/4})^{1/5} = (2^{5/4})^{1/5} = 2^{5/20} = 2^{1/4} = \sqrt[4]2$.

b) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[4]{x^3}}$

Procediment pas a pas:

Introduïm $x^2$ a l'arrel quarta: $(x^2)^4\cdot x^3 = x^8\cdot x^3 = x^{11}$.
Multipliquem índexs: $\sqrt[5]{\sqrt[4]{x^{11}}} = \sqrt[20]{x^{11}}$.

Alternativa amb exponents: $(x^2\cdot x^{3/4})^{1/5} = (x^{11/4})^{1/5} = x^{11/20} = \sqrt[20]{x^{11}}$.

c) $\sqrt[4]{x^3\sqrt[3]{x^2\sqrt x}}$

Procediment pas a pas:

Treballem de dins cap a fora: $x^2\sqrt x = \sqrt{(x^2)^2 x} = \sqrt{x^5}$.
Arrel cúbica de l'arrel quadrada: $\sqrt[3]{\sqrt{x^5}} = \sqrt[6]{x^5}$.
Introduïm $x^3$ a l'arrel sisena: $(x^3)^6\cdot x^5 = x^{18}\cdot x^5 = x^{23}$.
Arrel quarta exterior: $\sqrt[4]{\sqrt[6]{x^{23}}} = \sqrt[24]{x^{23}}$.

Alternativa amb exponents: $\left(x^3(x^2 x^{1/2})^{1/3}\right)^{1/4} = \left(x^3(x^{5/2})^{1/3}\right)^{1/4} = (x^3 x^{5/6})^{1/4} = (x^{23/6})^{1/4} = x^{23/24} = \sqrt[24]{x^{23}}$.

d) $\sqrt[6]{2\sqrt[3]{2\sqrt2}}$

Procediment pas a pas:

De dins cap a fora: $2\sqrt2 = \sqrt{2^2\cdot 2} = \sqrt{2^3}$.
Arrel cúbica de l'arrel quadrada: $\sqrt[3]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}$.
Multipliquem pel $2$ exterior: $2\sqrt2 = \sqrt{2^3}$.
Arrel sisena exterior: $\sqrt[6]{\sqrt{2^3}} = \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2}$.

Alternativa amb exponents: $\left(2(2\cdot2^{1/2})^{1/3}\right)^{1/6} = \left(2(2^{3/2})^{1/3}\right)^{1/6} = (2\cdot 2^{1/2})^{1/6} = (2^{3/2})^{1/6} = 2^{3/12} = 2^{1/4} = \sqrt[4]2$.

12. Racionalització amb un radical

Quan al denominador hi ha un únic radical, multipliquem el numerador i el denominador pel radical que completa una potència exacta de l’índex, de manera que l'arrel s'elimini.

a) $\frac2{\sqrt7}$

Procediment: Multipliquem numerador i denominador per $\sqrt7$:

$$\frac{2}{\sqrt7} = \frac{2\cdot\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7} = \frac{2\sqrt7}{(\sqrt7)^2} = \frac{2\sqrt7}{7}$$

b) $\frac1{\sqrt3}$

Procediment: Multipliquem numerador i denominador per $\sqrt3$:

$$\frac{1}{\sqrt3} = \frac{1\cdot\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{(\sqrt3)^2} = \frac{\sqrt3}{3}$$

c) $\frac{2a}{\sqrt{2ax}}$

Procediment: Multipliquem numerador i denominador per $\sqrt{2ax}$:

$$\frac{2a}{\sqrt{2ax}} = \frac{2a\cdot\sqrt{2ax}}{\sqrt{2ax}\cdot\sqrt{2ax}} = \frac{2a\sqrt{2ax}}{2ax}$$

Simplifiquem dividint numerador i denominador pel factor comú $2a$:

$$\frac{2a\sqrt{2ax}}{2ax} = \frac{\sqrt{2ax}}{x}$$

d) $\frac1{\sqrt[5]{x^3}}$

Procediment: Com que l'arrel té índex 5 i tenim $x^3$, ens manquen $5 - 3 = 2$ factors per completar $x^5$. Multipliquem per $\sqrt[5]{x^2}$:

$$\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}} = \frac{1\cdot\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^3}\cdot\sqrt[5]{x^2}} = \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^3\cdot x^2}} = \frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[5]{x^5}} = \frac{\sqrt[5]{x^2}}{x}$$

13. Racionalització amb conjugats

Quan el denominador és un binomi amb arrels quadrades $(a\pm b)$, multipliquem el numerador i el denominador pel seu conjugat. Gràcies a la identitat notable suma per diferència, $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, eliminem tots els radicals del denominador.

a) $\frac2{\sqrt3-1}$

Procediment detallat pas a pas:

Identifiquem el conjugat del denominador: el denominador és $\sqrt3 - 1$, el seu conjugat és $\sqrt3 + 1$ (canviem el signe del segon terme).
Multipliquem numerador i denominador pel conjugat: $$\frac{2}{\sqrt3 - 1} = \frac{2\cdot(\sqrt3 + 1)}{(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1)}$$
Desenvolupem el denominador amb la identitat notable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1) = (\sqrt3)^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$$
Mantenim el numerador factoritzat per poder simplificar: $$2(\sqrt3 + 1)$$
Simplifiquem la fracció dividint numerador i denominador entre $2$: $$\frac{2(\sqrt3 + 1)}{2} = \sqrt3 + 1$$

b) $\frac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5}$

Procediment detallat pas a pas:

Identifiquem el conjugat del denominador: el denominador és $3 - \sqrt5$, el seu conjugat és $3 + \sqrt5$.
Multipliquem numerador i denominador pel conjugat: $$\frac{3+\sqrt5}{3-\sqrt5} = \frac{(3+\sqrt5)(3+\sqrt5)}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}$$
Desenvolupem el denominador (diferència de quadrats): $$(3-\sqrt5)(3+\sqrt5) = 3^2 - (\sqrt5)^2 = 9 - 5 = 4$$
Desenvolupem el numerador amb el quadrat d'un binomi $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(3+\sqrt5)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot\sqrt5 + (\sqrt5)^2 = 9 + 6\sqrt5 + 5 = 14 + 6\sqrt5$$
Construïm la fracció i simplifiquem traient factor comú $2$: $$\frac{14 + 6\sqrt5}{4} = \frac{2(7 + 3\sqrt5)}{2\cdot 2} = \frac{7 + 3\sqrt5}{2}$$

c) $\frac5{4-\sqrt{11}}$

Procediment detallat pas a pas:

Identifiquem el conjugat del denominador: el denominador és $4 - \sqrt{11}$, el seu conjugat és $4 + \sqrt{11}$.
Multipliquem numerador i denominador: $$\frac{5}{4-\sqrt{11}} = \frac{5\cdot(4+\sqrt{11})}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}$$
Desenvolupem el denominador $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $$(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11}) = 4^2 - (\sqrt{11})^2 = 16 - 11 = 5$$
Simplifiquem el factor $5$ que multiplica dalt i baix: $$\frac{5(4+\sqrt{11})}{5} = 4 + \sqrt{11}$$

d) $\frac{\sqrt2}{\sqrt2+1}$

Procediment detallat pas a pas:

Identifiquem el conjugat del denominador: el denominador és $\sqrt2 + 1$, el seu conjugat és $\sqrt2 - 1$.
Multipliquem numerador i denominador: $$\frac{\sqrt2}{\sqrt2+1} = \frac{\sqrt2\cdot(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}$$
Desenvolupem el denominador $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$: $$(\sqrt2+1)(\sqrt2-1) = (\sqrt2)^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$
Desenvolupem el numerador aplicant la propietat distributiva: $$\sqrt2(\sqrt2-1) = \sqrt2\cdot\sqrt2 - \sqrt2\cdot 1 = 2 - \sqrt2$$
Dividim pel denominador $1$: $$\frac{2-\sqrt2}{1} = 2-\sqrt2$$

Domini i signes de les variables

Les arrels d’índex parell exigeixen un radicand no negatiu i els denominadors no poden ser zero. La regla general és $\sqrt{u^2}=|u|$.

1b: per a qualsevol $x$ real, $\sqrt[3]{x^2}=|x|^{2/3}$. La forma $x^{2/3}$ també s’utilitza si es defineix mitjançant l’arrel cúbica real.
3c: sense suposar $x>0$, $\sqrt[14]{x^6}=\sqrt[7]{|x|^3}$. A 3d, $\sqrt[15]{4x^4}$ ja és correcte per a qualsevol $x$ real.
4d: si $abc\ne0$ i $abc>0$, l’extracció general és $7|a|b^2|c|^3\sqrt{2abc}$. Si alguna variable és zero, el radical original val zero.
5c: si $a<0$, el factor exterior és negatiu: $3a\sqrt{2a^2}=-\sqrt{18a^4}$.
10b: al domini complet del quocient, $x$ i $y$ han de ser positius; això justifica $y\sqrt x$.
10d: per a $a\ne0$ i $b$ real, la forma general és $\operatorname{sgn}(a)\sqrt{2|a|}\,\sqrt[3]b$. La forma amb arrel sisena del solucionari pressuposa $a,b>0$.
12c: la condició exacta és $ax>0$. El resultat $\sqrt{2ax}/x$ també és vàlid quan $a$ i $x$ són tots dos negatius.
12d: $x\ne0$; la forma $\sqrt[5]{x^2}/x$ funciona també per a $x<0$.