Arrels, distributiva i racionalització
Entén cada producte: dels parèntesis als conjugats, sense saltar passos.
Com treballar aquesta guia
Objectius: simplificar radicals, aplicar la distributiva a tots els termes, entendre els conjugats i racionalitzar.
Durada orientativa: 60 minuts: 15 de repàs, 20 de distributiva i racionalització, 20 de pràctica i 5 d’autocorrecció. Treballa en un full abans de consultar les solucions. En els exemples amb lletres, les variables són positives.
Descarrega la guia ampliada en PDF (5 pàgines)Com treballar: dedica uns 15 minuts a cadascuna de les quatre parts. Resol les activitats en un full i consulta les solucions només al final.
1. Què significa una arrel quadrada?
L’arrel quadrada principal és el nombre no negatiu que, elevat al quadrat, dona el radicand.
$$\sqrt{49}=7\quad\text{perquè}\quad 7^2=49$$Cal distingir una arrel d’una equació: $\sqrt{49}=7$, però l’equació $x^2=49$ té les solucions $x=7$ i $x=-7$. Una arrel quadrada d’un nombre negatiu no té valor real.
2. Extracció de factors
Descompon el radicand, separa els quadrats perfectes i extreu-los. Amb $A\geq0$ i $B\geq0$:
$$\sqrt{A^2B}=A\sqrt B$$Exemple numèric. Separem el quadrat més gran que divideix el radicand:
$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$$Exemple amb lletres. En aquesta guia totes les variables són positives.
$$\sqrt{32a^3b^5}=\sqrt{16a^2b^4\cdot2ab}=4ab^2\sqrt{2ab}$$Sense la hipòtesi de positivitat, cal recordar que $\sqrt{u^2}=|u|$.
3. Introducció i exponent fraccionari
Per introduir un factor no negatiu dins d’una arrel, l’elevem al quadrat:
$$3a\sqrt{2a}=\sqrt{(3a)^2\cdot2a}=\sqrt{18a^3}$$També podem escriure $\sqrt{a^m}=a^{m/2}$ si $a>0$.
A1. Simplifica $\sqrt{192}$.
A2. Simplifica $\sqrt{27a^5b^3}$, amb variables positives.
4. Sumar i restar radicals
Només podem agrupar radicals semblants: han de tenir el mateix índex i el mateix radicand. Primer simplifica cada arrel; després opera amb els coeficients.
$$\sqrt{50}+\sqrt{18}-\sqrt8=5\sqrt2+3\sqrt2-2\sqrt2=6\sqrt2$$5. Multiplicar i distribuir
Multiplica els coeficients entre si i els radicands entre si; al final extreu factors. Per a radicands no negatius, $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$.
$$2\sqrt3\cdot5\sqrt6=10\sqrt{18}=30\sqrt2$$Si hi ha un parèntesi, multiplica cada terme i conserva els signes:
$$(2\sqrt5-\sqrt3)\sqrt{15}=2\sqrt{75}-\sqrt{45}=10\sqrt3-3\sqrt5$$Amb conjugats, aplica la diferència de quadrats:
$$(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)=7-2=5$$6. Dividir radicals
Podem agrupar el quocient si el radicand del numerador és no negatiu i el del denominador és positiu: $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\dfrac ab}$.
$$\frac{\sqrt{32x^3y}}{4\sqrt{2xy}}=\frac14\sqrt{16x^2}=x\qquad(x,y>0)$$A3. Simplifica $\sqrt{27}+\sqrt{48}-\sqrt{75}$.
A4. Desenvolupa i simplifica $(\sqrt6-\sqrt2)\sqrt3$.
A5. Simplifica $\dfrac{\sqrt{98x^3y}}{7\sqrt{2xy}}$, amb variables positives.
La distributiva: multipliquem tots els termes
Un factor situat fora d’un parèntesi ha de multiplicar cadascun dels termes de dins. El signe de cada terme també forma part del producte.
$$k(a+b)=ka+kb\qquad k(a-b)=ka-kb$$Amb radicals fem exactament el mateix. Primer distribuïm i després simplifiquem les arrels:
$$(2\sqrt3-\sqrt2)\sqrt6=2\sqrt3\cdot\sqrt6-\sqrt2\cdot\sqrt6$$ $$=2\sqrt{18}-\sqrt{12}=6\sqrt2-2\sqrt3$$Dos parèntesis: quatre productes
Cada terme del primer parèntesi multiplica els dos termes del segon. Per tant, abans de reduir tenim quatre productes:
$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$En un quadrat, repetim el mateix parèntesi. Els dos productes creuats se sumen:
$$(\sqrt2+1)^2=(\sqrt2+1)(\sqrt2+1)$$ $$=2+\sqrt2+\sqrt2+1=3+2\sqrt2$$Per què funciona el conjugat?
El conjugat conserva els termes i canvia el signe que els separa. En multiplicar, els productes creuats són oposats i es cancel·len:
$$(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3+\sqrt3-\sqrt3-1=2$$Per això $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Aquesta igualtat ens permet eliminar les arrels dels denominadors que veurem a continuació.
D1. Desenvolupa $(\sqrt5+2)\sqrt5$.
D2. Desenvolupa $(\sqrt3+2)^2$. Escriu els quatre productes abans d’agrupar.
7. Racionalitzar el denominador
Racionalitzar vol dir escriure una fracció equivalent sense arrels al denominador. Multiplica numerador i denominador pel mateix factor no nul.
Un sol radical: multipliquem per aquest radical.
$$\frac{10}{\sqrt5}=\frac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$$Una suma o una resta: multipliquem pel conjugat, que canvia el signe entre els dos termes.
$$\frac4{\sqrt3-1}=\frac{4(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\frac{4(\sqrt3+1)}{3-1}=2\sqrt3+2$$Si el numerador també conté radicals, desenvolupa’l:
$$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=\frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt2$$Del conjugat al resultat: sense saltar passos
Racionalitzem $\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$. El conjugat del denominador és $\sqrt2+1$.
- Multipliquem tota la fracció pel conjugat dividit per si mateix. És multiplicar per la unitat, de manera que el valor no canvia.
| Producte | Numerador | Denominador |
|---|---|---|
| Primer per primer | $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ | $\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ |
| Primer per segon | $\sqrt2\cdot1=\sqrt2$ | $\sqrt2\cdot1=\sqrt2$ |
| Segon per primer | $1\cdot\sqrt2=\sqrt2$ | $(-1)\cdot\sqrt2=-\sqrt2$ |
| Segon per segon | $1\cdot1=1$ | $(-1)\cdot1=-1$ |
Agrupem. Al numerador els termes amb arrel se sumen; al denominador es cancel·len.
$$\frac{2+\sqrt2+\sqrt2+1}{2+\sqrt2-\sqrt2-1} =\frac{3+2\sqrt2}{1}=3+2\sqrt2$$Exemple de la fitxa: racionalitza $\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}$
Volem obtenir una fracció equivalent sense arrels al denominador. Com que hi ha una resta de dos termes, utilitzem el conjugat.
- Troba el conjugat. Conservem els termes i canviem el signe que els separa: el conjugat de $4-\sqrt{11}$ és $4+\sqrt{11}$. No canviem el signe de tota l’expressió.
- Multiplica numerador i denominador pel conjugat. Multiplicar pel mateix factor no nul a dalt i a baix equival a multiplicar per la unitat; el valor no canvia. $$\frac{5}{4-\sqrt{11}}\cdot\frac{4+\sqrt{11}}{4+\sqrt{11}} =\frac{5(4+\sqrt{11})}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}$$
- Calcula el denominador. Apliquem la identitat de suma per diferència: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$$(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})=4^2-(\sqrt{11})^2=16-11=5$$
Per veure per què desapareixen les arrels, també pots escriure els quatre productes:
$$16+4\sqrt{11}-4\sqrt{11}-11=5$$Els dos termes amb arrel són oposats i es cancel·len.
- Conserva el numerador factoritzat. Tenim $5(4+\sqrt{11})$. Encara no cal desenvolupar el parèntesi: així es veu millor el factor comú.
- Simplifica el factor comú. El numerador complet i el denominador tenen el factor $5$:
$$\frac{5(4+\sqrt{11})}{5}=4+\sqrt{11}$$
Si haguessis desenvolupat el numerador, també arribaries al mateix resultat:
$$\frac{20+5\sqrt{11}}{5}=\frac{20}{5}+\frac{5\sqrt{11}}{5}=4+\sqrt{11}$$
Resultat exacte: $\boxed{\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}=4+\sqrt{11}}$.
Recorda: el conjugat elimina les arrels del denominador, però el resultat pot continuar tenint una arrel. Només podem simplificar factors comuns de tot el numerador i tot el denominador.
8. Arrels imbricades
Comença per l’arrel interior. Simplifica-la i després extreu els quadrats perfectes de l’arrel exterior.
$$\sqrt{6\sqrt{16}}=\sqrt{6\cdot4}=\sqrt{24}=2\sqrt6$$Si queda una arrel interior no exacta, no la converteixis en una suma ni la substitueixis per un decimal:
$$\sqrt{2\sqrt{12}}=\sqrt{4\sqrt3}=2\sqrt{\sqrt3}=2\sqrt[4]3$$A6. Racionalitza $\dfrac5{\sqrt6-1}$.
A7. Simplifica $\sqrt{5\sqrt{16}}$.
A8. Simplifica $\sqrt{2\sqrt{20}}$.
Pràctica guiada de distributiva i conjugats
Resol primer en un full. Desplega cada solució després d’escriure tots els productes.
1. Un factor i un parèntesi: $(\sqrt5+2)\sqrt5$
El factor exterior multiplica els dos termes.
$$\sqrt5\cdot\sqrt5+2\cdot\sqrt5=5+2\sqrt5$$2. El quadrat d’una suma: $(\sqrt3+2)^2$
Els productes creuats són iguals i se sumen.
3. Conjugats: $(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)$
Els productes creuats són oposats i es cancel·len.
4. Racionalitza: $\dfrac{\sqrt3+2}{\sqrt3-2}$
Multipliquem pel conjugat del denominador i conservem el signe del resultat.
$$\frac{(\sqrt3+2)^2}{3-4}=\frac{3+2\sqrt3+2\sqrt3+4}{-1}=-7-4\sqrt3$$Solucions de les activitats de la guia
Consulta les activitats A1–A8 i D1–D2
Consulta aquesta pàgina després d’haver fet els càlculs. Si t’has equivocat, identifica el primer pas incorrecte i refés l’activitat.