Simulacre CFGM: dades digitals i geometria
Set reptes per practicar com llegeixes dades, tries una operació i comproves una resposta. Seguim el format de l’últim model amb situacions noves de videojocs, xarxes i disseny.
Material de pràctica creat per a Ciències Aplicades II: no és una prova oficial ni una nova sèrie de la Generalitat. El marcador orienta la revisió dels resultats; el docent revisa també el procediment escrit i les justificacions.
Com treballarem
Objectius: resoldre problemes amb fraccions i percentatges, convertir unitats i relacionar dimensions, equacions i dades amb una decisió.
Material: navegador, paper i calculadora. Escriu les operacions i les unitats al paper. Als camps, introdueix només el nombre amb coma decimal, sense separadors de milers.
- 5 minuts: llegeix els enunciats i revisa l’exemple guiat.
- 40 minuts: resol individualment els set reptes.
- 10 minuts: comprova i corregeix els passos que fallen.
- 5 minuts: explica un error corregit i respon la pregunta final.
Mode pràctica: pots consultar pistes i comprovar cada exercici.
Exemple guiat abans de començar
Una transferència de $80\text{ MB}$ a $20\text{ MB/s}$ triga $t=\frac{80}{20}=4\text{ s}$. Primer comprova que mida i velocitat utilitzen la mateixa unitat.
Amb una fracció, calcula la part multiplicant el total per la fracció. Per a un cilindre, $V=\pi r^2h$, amb $r$ el radi i $h$ l’altura. Per a una àrea rectangular, $A=l\cdot a$. A escala $1:k$, una longitud real és la del plànol multiplicada per $k$.
Una funció afí $t(x)=mx+b$ té un valor inicial $b$ i un canvi $m$ per cada unitat de $x$. Per a la mitjana, suma tots els valors i divideix pel nombre de dades.
1 · La descàrrega arribarà a temps?
1,5 puntsUn joc ocupa $120\text{ GB}$. Ja se n'han descarregat $\frac25$ del total. La velocitat es manté constant a $25\text{ MB/s}$. Utilitzem la convenció decimal: $1\text{ GB}=1000\text{ MB}$. No hi ha altres pauses ni sobrecàrrega de xarxa.
a) Quants gigabytes ja estan descarregats? (0,5 punts)
b) Quants gigabytes falten? (0,5 punts)
c) Quants minuts falten? Decideix també, al paper, si acabaria abans d’un torneig que comença d’aquí a $50\text{ min}$. (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 1
Calcula primer la part descarregada, després la que falta. Abans de dividir, comprova que la mida i la velocitat utilitzen la mateixa unitat.
Solució pas a pas · Exercici 1
a) $120\cdot\frac25=48\text{ GB}$.
b) $120-48=72\text{ GB}$.
c) $72\text{ GB}=72000\text{ MB}$; $t=\frac{72000}{25}=2880\text{ s}=48\text{ min}$.
En aquest model, acabaria amb $2\text{ min}$ de marge. En una xarxa real, la velocitat pot variar: el resultat és una estimació condicionada.
2 · Dues variacions en el rendiment
1 puntsEn una prova simulada, un joc funciona a $160\text{ FPS}$ (fotogrames per segon). En activar un efecte visual, els FPS disminueixen un $25\%$. Una optimització posterior augmenta un $20\%$ el valor que queda després d’aquesta disminució.
a) Quants FPS queden després de la disminució? (0,25 punts)
b) Quants FPS hi ha després de l’optimització? (0,5 punts)
c) Quin percentatge de disminució global hi ha respecte al valor inicial? (0,25 punts)
Pista per començar l’exercici 2
Cada percentatge actua sobre el resultat del pas anterior. L’augment no recupera automàticament tota la pèrdua.
Solució pas a pas · Exercici 2
a) $160\cdot(1-0{,}25)=120\text{ FPS}$.
b) $120\cdot(1+0{,}20)=144\text{ FPS}$.
c) $\frac{160-144}{160}\cdot100=10\%$ de disminució.
Comprovació: $0{,}75\cdot1{,}20=0{,}90$. No podem restar directament els dos percentatges, perquè tenen bases diferents.
3 · Capacitat d’un dipòsit cilíndric
1,5 puntsUn dipòsit ideal per a un circuit de refrigeració té forma de cilindre. El diàmetre interior és $0{,}6\text{ m}$ i l’altura interior és $0{,}8\text{ m}$. Està ple fins a $\frac34$ de la seva capacitat. Utilitza la tecla $\pi$ i conserva els decimals fins al final.
a) Quin és el volum interior total? Arrodoneix a tres decimals. (0,5 punts)
b) Quina capacitat total té en litres? Arrodoneix a dos decimals. (0,5 punts)
c) Quants litres de líquid conté ara? Arrodoneix a dos decimals. (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 3
Diàmetre i radi són diferents. Treballa en metres per al volum i passa a litres sense arrodonir el resultat intermedi.
Solució pas a pas · Exercici 3
El radi és $r=\frac{0{,}6}{2}=0{,}3\text{ m}$.
a) $V=\pi r^2h=\pi\cdot0{,}3^2\cdot0{,}8=0{,}072\pi\approx0{,}226\text{ m}^3$.
b) $C=1000\cdot0{,}072\pi=72\pi\approx226{,}19\text{ L}$.
c) $\frac34\cdot72\pi=54\pi\approx169{,}65\text{ L}$.
No multipliquis el volum ja arrodonit per mil: conserva el valor de la calculadora. El resultat correspon al volum interior ideal.
4 · Un plànol per a l’espai de joc
1,5 puntsUn espai rectangular es representa a escala $1:50$. Al plànol mesura $9\text{ cm}$ de llarg i $4\text{ cm}$ d’ample. Volem conèixer les dimensions i l’àrea reals, sense calcular cap cost.
a) Quina és la llargada real en metres? (0,5 punts)
b) Quina és l’amplada real en metres? (0,5 punts)
c) Quina és la superfície real? (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 4
Aplica l’escala a cada longitud i converteix a metres abans de multiplicar-les.
Solució pas a pas · Exercici 4
a) $9\cdot50=450\text{ cm}=4{,}5\text{ m}$.
b) $4\cdot50=200\text{ cm}=2\text{ m}$.
c) $A=4{,}5\cdot2=9\text{ m}^2$.
Comprovació alternativa: l’àrea del plànol és $36\text{ cm}^2$; l’àrea real és $36\cdot50^2=90000\text{ cm}^2=9\text{ m}^2$. L’escala d’àrees és el quadrat de l’escala de longituds.
5 · La puntuació del torneig
1,5 puntsUn qüestionari té $20$ preguntes i s’han contestat totes. Cada encert suma $3$ punts i cada error resta $1$ punt. No hi ha respostes en blanc. La puntuació final és de $44$ punts. Anomenem $x$ el nombre d’encerts.
a) Tria l’equació que representa la situació. (0,5 punts)
- Equació A: $3x+(20-x)=44$
- Equació B: $3x-(20-x)=44$
- Equació C: $3x-20=44$
b) Quantes respostes són correctes? (0,5 punts)
c) Quantes respostes són incorrectes? (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 5
Representa amb la mateixa lletra els encerts. Els errors són el total menys els encerts, i cadascun resta un punt.
Solució pas a pas · Exercici 5
a) Hi ha $x$ encerts i $20-x$ errors: $3x-(20-x)=44$.
b) $3x-20+x=44\Rightarrow4x=64\Rightarrow x=16$ encerts.
c) $20-16=4$ errors.
Comprovació: $16+4=20$ respostes i $3\cdot16-4=44$ punts. El signe menys afecta tot el parèntesi.
6 · Quin mètode de transferència és més ràpid?
1,5 puntsPer transferir un fitxer de mida $x$ gigabytes, el mètode A necessita $2\text{ min}$ de preparació i $0{,}5\text{ min}$ per gigabyte: $t_A(x)=2+0{,}5x$. El mètode B no necessita preparació i triga $1\text{ min}$ per gigabyte: $t_B(x)=x$. Els temps totals són en minuts i $x\geq0$.
a) Per a quina mida del fitxer els dos mètodes triguen el mateix? (0,5 punts)
b) Quants minuts triga A amb un fitxer de $10\text{ GB}$? (0,25 punts)
c) Quants minuts triga B amb un fitxer de $10\text{ GB}$? (0,25 punts)
d) Quin mètode és més ràpid per al fitxer de $10\text{ GB}$? Justifica-ho al paper. (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 6
Iguala les dues expressions per trobar la mida de coincidència. Després substitueix la mida demanada en cadascuna.
Solució pas a pas · Exercici 6
a) $2+0{,}5x=x\Rightarrow2=0{,}5x\Rightarrow x=4\text{ GB}$. Tots dos triguen $4\text{ min}$.
b) $t_A(10)=2+0{,}5\cdot10=7\text{ min}$.
c) $t_B(10)=10\text{ min}$.
d) El mètode A és més ràpid perquè $7<10$; estalvia $3\text{ min}$.
Per a $0\leq x<4$, B és més ràpid; amb $x>4$, A és més ràpid. La preparació pesa més quan el fitxer és petit.
7 · La mitjana explica tota la connexió?
1,5 puntsSet proves d’una connexió donen aquestes latències, en mil·lisegons: $18$, $20$, $20$, $22$, $24$, $26$ i $80$. La latència és el retard de resposta; en aquesta comparació, un valor menor indica una resposta més ràpida. Les dades són fictícies.
Lectura de les dades
Activa una barra per llegir una dada. La representació usa la mateixa escala en totes les proves.
| Prova | A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Latència en $\text{ms}$ | $18$ | $20$ | $20$ | $22$ | $24$ | $26$ | $80$ |
a) Quina és la mitjana de les set latències? (0,5 punts)
b) Quina és la mediana? (0,5 punts)
c) Quin és el rang? (0,5 punts)
Pista per començar l’exercici 7
La mitjana utilitza tots els valors; la mediana utilitza la posició central; el rang és una diferència entre els extrems.
Solució pas a pas · Exercici 7
a) $\bar{x}=\frac{18+20+20+22+24+26+80}{7}=\frac{210}{7}=30\text{ ms}$.
b) Les dades ja estan ordenades. El quart valor és la mediana: $22\text{ ms}$.
c) $80-18=62\text{ ms}$.
El valor de $80\text{ ms}$ augmenta la mitjana. La mediana descriu millor el centre de les sis proves agrupades, però cal explicar també el pic de retard; cap indicador, tot sol, explica tota la connexió.
Revisió final
Abans de corregir, comprova que no has confós GB amb MB, radi amb diàmetre o una longitud amb una àrea. El marcador suma exactament els pesos dels apartats, fins a $10$ punts.
Quan hagis acabat, podràs comprovar tots els resultats.
Tiquet de sortida, al paper
Explica una correcció que has fet i respon: per què una única prova molt lenta pot canviar la mitjana més que la mediana?
Reforç i ampliació amb solució
Reforç: si una descàrrega de $50\text{ GB}$ està completada a la meitat, queden $25\text{ GB}$. A $25\text{ MB/s}$, calen $1000\text{ s}$, és a dir, aproximadament $16{,}67\text{ min}$.
Ampliació: si traiem la prova de $80\text{ ms}$, quina mitjana queda? $\frac{210-80}{6}=\frac{130}{6}\approx21{,}67\text{ ms}$. No hem d’eliminar una dada només perquè ens incomoda: cal investigar què ha passat i explicar el criteri.