Arrels: teoria des de zero
Què vol dir fer una arrel, quan existeix i com podem calcular-la i simplificar-la?
Objectius i proposta de treball
Aprendràs a interpretar un radical, distingir una arrel d’una equació, comprovar el domini real, estimar valors, simplificar i operar amb arrels.
Durada orientativa: 60 minuts. Dedica 15 minuts al significat i als signes, 20 a les propietats i als exemples, 20 a les activitats i 5 a l’autocorrecció. Necessites paper i llapis; fes servir la calculadora només per comprovar les aproximacions.
Les situacions geomètriques són exemples didàctics ficticis. Aquesta pàgina prepara la guia de distributiva i racionalització.
1. Una arrel desfà una potència
Si coneixem l’àrea d’un quadrat i volem trobar-ne el costat, busquem quin nombre, multiplicat per si mateix, dona aquella àrea.
$$A=49\,\text{m}^2\quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{49}\,\text{m}=7\,\text{m}$$Comprovació: $7^2=49$. La longitud és positiva.
Àrea
$49\,\text{m}^2$
Costat: $7\,\text{m}$
Les parts d’un radical
$$\underbrace{\sqrt[3]{125}}_{\text{radical}}=5\quad\text{perquè}\quad5^3=125$$En aquest exemple, l’índex és $3$ i el radicand és $125$.
L’índex indica a quina potència elevem el resultat per recuperar el nombre de dins. El radicand és el nombre de dins de l’arrel. En una arrel quadrada no escrivim habitualment l’índex: $\sqrt a=\sqrt[2]a$.
Per a un índex enter $n\geq2$, $\sqrt[n]{a}=b$ vol dir que $b^n=a$, prenent el resultat no negatiu quan l’índex és parell.
Exemples: $\sqrt{81}=9$, $\sqrt[3]{27}=3$ i $\sqrt[4]{16}=2$.
2. Quan existeix una arrel real?
| Índex | Condició del radicand | Exemples |
|---|---|---|
| Parell | Ha de ser no negatiu: $a\geq0$. El resultat principal també és no negatiu. | $\sqrt{36}=6$ $\sqrt0=0$ $\sqrt{-4}$ no existeix en els reals. |
| Senar | Pot ser qualsevol nombre real. El resultat té el signe del radicand. | $\sqrt[3]{-8}=-2$ $\sqrt[3]0=0$ $\sqrt[3]8=2$ |
Una arrel principal i una equació són coses diferents
L’expressió $\sqrt{25}$ té un únic valor: $5$. En canvi, per resoldre $x^2=25$ busquem tots els nombres que compleixen la igualtat:
$$x=5\quad\text{o bé}\quad x=-5$$Tots dos funcionen perquè $5^2=25$ i $(-5)^2=25$.
3. Arrels exactes i aproximades
En aquest apartat, una arrel quadrada exacta d’un enter és la que dona un resultat enter. Això passa amb els quadrats perfectes:
$$0^2=0,\quad1^2=1,\quad2^2=4,\quad3^2=9,\quad4^2=16,\quad5^2=25,\quad6^2=36$$Si l’enter positiu no és un quadrat perfecte, la seva arrel quadrada és irracional: no es pot escriure com una fracció d’enters i el seu decimal no acaba ni és periòdic.
Exemple: situar una arrel entre dos enters
- Busquem els quadrats perfectes que envolten el radicand: $25<30<36$.
- Prenem arrels: $5<\sqrt{30}<6$.
- Per precisar, comprovem $5{,}4^2=29{,}16$ i $5{,}5^2=30{,}25$. Per tant, $5{,}4<\sqrt{30}<5{,}5$.
Amb calculadora i arrodonint a les centèsimes: $\sqrt{30}\approx5{,}48$. El signe $\approx$ indica aproximació. La forma $\sqrt{30}$ continua sent exacta.
4. Propietats de les arrels
Les igualtats de la taula són vàlides per a radicands no negatius i índexs enters $n,m\geq2$. En el quocient, el radicand del denominador ha de ser positiu.
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Producte del mateix índex | $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ | $\sqrt3\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$ |
| Quocient del mateix índex | $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}$, amb $b>0$ | $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5$ |
| Arrel d’una arrel | $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ | $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2$ |
| Exponent fraccionari | $\sqrt[n]{a^p}=a^{p/n}$, amb $a>0$ i $p$ enter | $\sqrt[3]{2^2}=2^{2/3}$ |
No ajuntem directament radicals d’índexs diferents. Amb bases positives podem passar a un índex comú: $\sqrt2=\sqrt[6]{2^3}$ i $\sqrt[3]3=\sqrt[6]{3^2}$.
5. Simplificar: extreure potències completes
Una arrel simplificada conserva el mateix valor i deixa dins el mínim de factors possible.
Arrel quadrada: busquem parelles de factors
- Descomponem el radicand: $72=2^3\cdot3^2$.
- Separem els quadrats: $72=(2\cdot3)^2\cdot2$.
- Extraiem un factor per cada parella: $\sqrt{72}=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2$.
Comprovació: $(6\sqrt2)^2=36\cdot2=72$ i el resultat és positiu.
Amb altres índexs, fem grups d’aquella mida
$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{3^3\cdot2}=3\sqrt[3]2$$Amb lletres, cal tenir present el signe: $\sqrt{18x^2}=3|x|\sqrt2$. Si sabem que $x\geq0$, podem escriure $3x\sqrt2$.
Introduir factors és el camí invers
Un factor no negatiu entra a l’arrel quadrada elevat al quadrat:
$$4\sqrt3=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{48}$$Reduir l’índex
Amb base positiva, dividim l’índex i l’exponent pel mateix divisor:
$$\sqrt[6]{5^4}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$$6. Operar amb radicals
Sumar i restar: primer simplifiquem
Només agrupem radicals amb el mateix índex i el mateix radicand. Operem amb els coeficients:
$$\sqrt{50}+\sqrt8-\sqrt{18}=5\sqrt2+2\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2$$En canvi, $\sqrt2+\sqrt3$ no es redueix a un únic radical sumant els radicands.
Multiplicar: coeficients i radicands
$$2\sqrt3\cdot4\sqrt6=8\sqrt{18}=24\sqrt2$$Parèntesis: distribuïm a tots els termes
$$(\sqrt5+2)\sqrt5=5+2\sqrt5$$Racionalitzar: una fracció equivalent
Multipliquem numerador i denominador pel mateix factor no nul per deixar el denominador sense arrels.
$$\frac3{\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}$$Si el denominador té dos termes, utilitzem el conjugat:
$$\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt3-1}{2}$$Exemple de la fitxa: racionalitza $\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}$
Volem obtenir una fracció equivalent sense arrels al denominador. Com que hi ha una resta de dos termes, utilitzem el conjugat.
- Troba el conjugat. Conservem els termes i canviem el signe que els separa: el conjugat de $4-\sqrt{11}$ és $4+\sqrt{11}$. No canviem el signe de tota l’expressió.
- Multiplica numerador i denominador pel conjugat. Multiplicar pel mateix factor no nul a dalt i a baix equival a multiplicar per la unitat; el valor no canvia. $$\frac{5}{4-\sqrt{11}}\cdot\frac{4+\sqrt{11}}{4+\sqrt{11}} =\frac{5(4+\sqrt{11})}{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}$$
- Calcula el denominador. Apliquem la identitat de suma per diferència: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$$(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})=4^2-(\sqrt{11})^2=16-11=5$$
Per veure per què desapareixen les arrels, també pots escriure els quatre productes:
$$16+4\sqrt{11}-4\sqrt{11}-11=5$$Els dos termes amb arrel són oposats i es cancel·len.
- Conserva el numerador factoritzat. Tenim $5(4+\sqrt{11})$. Encara no cal desenvolupar el parèntesi: així es veu millor el factor comú.
- Simplifica el factor comú. El numerador complet i el denominador tenen el factor $5$:
$$\frac{5(4+\sqrt{11})}{5}=4+\sqrt{11}$$
Si haguessis desenvolupat el numerador, també arribaries al mateix resultat:
$$\frac{20+5\sqrt{11}}{5}=\frac{20}{5}+\frac{5\sqrt{11}}{5}=4+\sqrt{11}$$
Resultat exacte: $\boxed{\dfrac{5}{4-\sqrt{11}}=4+\sqrt{11}}$.
Recorda: el conjugat elimina les arrels del denominador, però el resultat pot continuar tenint una arrel. Només podem simplificar factors comuns de tot el numerador i tot el denominador.
Consulta tots els passos de la distributiva i dels conjugats →
7. Revisa aquests errors freqüents
- Afegir dos signes a una arrel principal. $\sqrt{16}=4$. Els dos signes apareixen quan resolem $x^2=16$.
- Perdre el valor absolut. $\sqrt{(-5)^2}=5$.
- Repartir una arrel sobre una suma. $\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, mentre que $\sqrt4+\sqrt9=5$.
- Sumar radicals diferents. $2\sqrt3+\sqrt2$ no es pot convertir en $3\sqrt5$.
- Confondre igualtat i aproximació. $\sqrt2\approx1{,}41$; aquest decimal no és el valor exacte.
8. Activitats progressives amb solucions
Resol al quadern abans de desplegar les solucions. Escriu el procediment complet i comprova el signe i el domini.
Nivell inicial · Significat i domini
A1. Calcula $\sqrt{121}$ i $\sqrt[3]{-64}$.
A2. Estudia $\sqrt{-9}$, $\sqrt[4]{16}$ i $\sqrt{(-7)^2}$ en els reals.
La primera expressió no té valor real perquè l’índex és parell i el radicand és negatiu. Les altres dues són:
$$\sqrt[4]{16}=2\qquad\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$$A3. Compara calcular $\sqrt{36}$ amb resoldre $x^2=36$.
L’arrel principal és $\sqrt{36}=6$. L’equació té dues solucions: $x=6$ i $x=-6$, perquè totes dues donen $36$ en elevar-les al quadrat.
Nivell intermedi · Simplificació i aproximació
B1. Simplifica $\sqrt{45}$ i $\sqrt{200}$.
B2. Simplifica $\sqrt[4]{48}$.
Necessitem grups de quatre factors, perquè l’índex és quart.
B3. Situa $\sqrt{20}$ entre dos enters i aproxima’l a les centèsimes.
La calculadora permet arrodonir: $\sqrt{20}\approx4{,}47$.
Nivell de consolidació · Operacions i lletres
C1. Simplifica $\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt3$.
C2. Calcula $(2\sqrt5)(3\sqrt{10})$.
C3. Simplifica $\sqrt{2x^2}$ per a qualsevol $x$ real.
El valor absolut garanteix un resultat no negatiu, també quan $x<0$.
C4. Racionalitza $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3-1}$.
Aplicació i ampliació
D1. Una plaça quadrada té una àrea de $98\,\text{m}^2$. Troba el costat exacte i aproximat a les centèsimes de metre.
Comprovació del valor exacte: $(7\sqrt2)^2=98$. La longitud ha de ser positiva.
D2. Simplifica $\sqrt{6\sqrt{16}}$.
Comencem per l’arrel interior:
$$\sqrt{6\sqrt{16}}=\sqrt{6\cdot4}=\sqrt{24}=2\sqrt6$$